Ecuación diofántica

Ecuación diofántica

Ecuación diofántica

Se llama ecuación diofántica a cualquier ecuación algebraica, generalmente de varias variables, planteada sobre el conjunto de los números enteros \mathbb{Z} o los números naturales \mathbb{N}, es decir, se trata de ecuaciones cuyas soluciones son números enteros.

Contenido

Ejemplo ilustrativo I

Un ejemplo de ecuación diofántica es: x + y = 5 \,

Esta ecuación tiene infinitas soluciones en los números reales. Como regla general, sin embargo, las ecuaciones que aparecen en los problemas tienen restricciones que nos ayudan a limitarnos a un pequeño número de casos e incluso a una única solución.

Por ejemplo, en nuestra ecuación, si restringimos los posibles valores de x e y a los enteros positivos, tenemos 4 soluciones para (x,y):

(1,4) (2,3) (3,2) (4,1).

Un problema matemático muy famoso que se resuelve por medio de ecuaciones diofánticas es el del mono y los cocos.

Ecuación diofántica lineal

La ecuación diofántica Ax + By = C \, o identidad de Bézout tiene solución si y solo si d = mcd(A, B) (máximo común divisor) es un divisor de C. En ese caso la ecuación tiene una infinidad de soluciones.

Similarmente la ecuación a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = C \, tiene solución si y solo si d = mcd(a1, a2,...,an) es un divisor de C.

Solución general

Supongamos la ecuación diofántica  Ax + By = C \,. Solo tiene solución si  mcd(A,B)=d|C \,. Para buscar el mcd(d) \, empleamos el algoritmo de Euclides. Si una ecuación diofántica tiene solución, necesariamente tiene infinitas soluciones y todas son de la forma:

\begin{cases} x=x_{1}+\lambda\cdot\frac{B}{d} \\ y =y_{1}-\lambda\cdot\frac{A}{d}\end{cases}

Donde d=mcd(A,B) \, y x_1 \, e y_1 \, son una solución particular de la ecuación.

Solución particular

Para encontrar una solución particular usamos la identidad de Bézout junto al algoritmo de Euclides. Esto nos da x_1 \, e y_1 \,. Veamos el ejemplo:

Tenemos la ecuación diofántica 6x + 10y = 104

  1. Buscamos el d = mcd(6,10). A través de Euclides encontramos que d =2
  2. Como d|C (donde "|" significa "divide a"), es decir, 2|104, Calculamos una solución particular mediante la Identidad de Bézout: x1 = 2 e y1 = -1. La ecuación quedaría así: 6 · 2 + 10 · (-1) = 2.
  3. Ahora tenemos una solución para la ecuación 6x + 10y = 2. Con x1 = 2 e y1 = -1. Si multiplicamos cada parte de la ecuación por C/d (104 / 2 = 52), tendremos la solución particular de nuestra ecuación original (6x + 10y = 104). La ecuación quedaría así: 6 · 2 · 52 + 10 · (-1) · 52 = 104
  4. Con lo que hemos visto arriba, buscamos la solución general:

\begin{cases} x=(2 \cdot 52) + \lambda \cdot \frac{10}{2} \\ y = (-1 \cdot 52) - \lambda \frac{6}{2}\end{cases} \forall \lambda \in \mathbb{Z}

Ecuación pitagórica

Se llama ecuación pitagórica a la ecuación x^2 + y^2 = z^2 \, con x,y,z \in \mathbb{Z}. Cualquier terna (x, y, z) solución de la ecuación anterior se conoce como terna pitagórica. Además si (x, y, z) es una terna pitagórica solución de la ecuación pitagórica también lo serán:

  1. La terna alternando x e y: (y, x, z).
  2. Una terna múltiplo (ky, kx, kz).
  3. Una terna con algún signo cambiado (-x, y, z), (x, -y, z) o (y, x, -z)
  4. Cualquier otra terna obtenida mediante una combinación de los procedimientos anteriores.

Se dice que una terna es primitiva, si el máximo común divisor de x, y, z es la unidad, es decir, mcd(x,y,z) = 1. En toda terna primitiva al menos uno de los números x o y es par y z es impar. Puede verse que en esas condiciones todas las ternas primitivas que son de la ecuación pitagórica son de la forma:

\begin{cases}
x = u^2 - v^2 \qquad y = 2uv  \qquad z = u^2 + v^2 \\ u,v \in \mathbb{N} \; \land \; u \neq v\ (\mbox{mod}\ 2) \; \land \; \mbox{mcd}(u,v) = 1 \end{cases}

Obtenido de "Ecuaci%C3%B3n diof%C3%A1ntica"

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Mira otros diccionarios:

  • Ecuación diofántica — Se llama ecuación diofántica a cualquier ecuación, generalmente de varias variables, que aparece en un problema en el que las soluciones deben ser números enteros. Un ejemplo de ecuación diofántica es: Esta ecuación tiene infinitas soluciones en… …   Enciclopedia Universal

  • ecuación — (Del lat. aequatĭo, ōnis). 1. f. Astr. Diferencia que hay entre el lugar o movimiento medio y el verdadero o aparente de un astro. 2. Mat. Igualdad que contiene una o más incógnitas. 3. Quím. Expresión simbólica de una reacción química, que… …   Diccionario de la lengua española

  • Ecuación de Pell — Saltar a navegación, búsqueda Una ecuación de Pell es una ecuación diofántica de la forma: Donde n es un número entero que no es cuadrado perfecto. Estas ecuaciones fueron estudiadas ya por Arquímedes, de manera indirecta, al resolver el problema …   Wikipedia Español

  • Ecuación indeterminada — Saltar a navegación, búsqueda Una ecuación indeterminada es una ecuación para la cual hay un conjunto infinito de soluciones – por ejemplo, 2x = y. Las ecuaciones indeterminadas no siempre pueden ser resueltas directamente con la información dada …   Wikipedia Español

  • diofántica — diofántica. □ V. ecuación diofántica …   Enciclopedia Universal

  • diofántica — ☛ V. ecuación diofántica …   Diccionario de la lengua española

  • Ecuación — (Derivado culto de aequare, igualar.) ► sustantivo femenino 1 MATEMÁTICAS Igualdad entre dos expresiones que contienen una o más incógnitas: ■ para resolver la ecuación despeja primero la incógnita. 2 ASTRONOMÍA Diferencia que hay entre el lugar… …   Enciclopedia Universal

  • Décimo problema de Hilbert — Saltar a navegación, búsqueda El décimo problema de Hilbert es uno de los veintitrés que David Hilbert propuso al término del siglo XIX. Su enunciado original es: Dada una ecuación diofántica con cualquier número de incógnitas y con coeficientes… …   Wikipedia Español

  • Sistema de ecuaciones lineales — En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de… …   Wikipedia Español

  • Fracción continua — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas, una fracción continua es una expresión de la forma: donde a0 es un entero y todos los demás números an son enteros positivos. Si se permite que los numeradores o los denominadores parciales tomen… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”