Residuo (análisis complejo)


Residuo (análisis complejo)

Residuo (análisis complejo)

Se denomina residuo de una función analítica f(z) en una singularidad aislada z = z0 al número

\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_C f(z)dz

donde C representa una circunferencia de centro z0 y radio R en cuyo interior no hay puntos singulares de la función salvo z0.

Si f(z) tiene una singularidad evitable en z0, el residuo es \operatorname{Res}(f(z),z_0)=0.

Si f(z) tiene un polo de orden N en z0, entonces el residuo se puede calcular como:

\operatorname{Res}(f,z_0)= \lim_{z\to z_0} \, \, \frac{1}{(N-1)!}  \frac{d^{N-1}}{dz^{N-1}}[(z-z_0)^N f(z)]

En particular, si N = 1 (polo simple),

\operatorname{Res}(f,z_0)= \lim_{z\to z_0} \, \, (z-z_0) f(z)

Si el punto z0 es una singularidad esencial, el residuo se calcula desarrollando la función en serie de Laurent en torno a z0. El residuo es el coeficiente correspondiente a la potencia de exponente − 1.

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