Sucesión de Padovan


Sucesión de Padovan
Espiral de triángulos equiláteros dónde la longitud de los lados siguen la sucesión de Padovan.

La sucesión de Padovan es la secuencia de números enteros P(n) definida por los siguientes valores iniciales

P(0) = P(1) = P(2) = 1,

y la siguiente relación de recurrencia

P(n) = P(n − 2) + P(n − 3).

Los primeros valores de P(n) son

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37,...


La sucesión de Padovan fue nombrada por el matemático Richard Padovan, quién atribuyó su descubrimiento al arquitecto holandés Hans van der Laan. En primera instancia fue descrita por el matemático Ian Stewart en su artículo Mathematical Recreations de la revista Scientific American en junio de 1996.

Contenido

Relaciones recursivas

La sucesión de Padovan también satisface las siguientes relaciones:

P(n) = P(n − 1) + P(n − 5)
P(n) = P(n − 2) + P(n − 4) + P(n − 8)
P(n) = 2P(n − 2) − P(n − 7)
P(n) = P(n − 3) + P(n − 4) + P(n − 5)
P(n) = P(n − 3) + P(n − 5) + P(n − 7) + P(n − 8) + P(n − 9)
P(n) = P(n − 4) + P(n − 5) + P(n − 6) + P(n − 7) + P(n − 8)
P(n) = 4P(n − 5) + P(n − 14).

Existe otra sucesión llamada Secuencia de Perrin que satisface las mismas relaciones recursivas con diferentes valores iniciales. Se puede obtener a partir de la de Padovan mediante la siguiente fórmula:

\mathrm{Perrin}(n)=P(n+1)+P(n-10).\,

Extensión para valores negativos

Las sucesión de Padovan se puede extender con valores negativos empleando la siguiente relación:

P( − n) = P( − n + 3) − P( − n + 1).

Esta extensión es parecida a la establecida para la Sucesión de Fibonacci con el mismo propósito:


Extendiendo P(n) a valores negativos se obtienen los siguientes valores:

..., −7, 4, 0, −3, 4, −3, 1, 1, −2, 2, −1, 0, 1, −1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, ...

Suma de términos

La suma de los n primeros términos de la sucesión de Padovan es la misma que para la P(n + 5), es decir:

\sum_{m=0}^n P(m)=P(n+5)-2.

La suma de términos alternativos, de términos separados en tres posiciones (uno de cada tres), o incluso cinco posiciones (uno de cada cinco), también tienen relaciones como las que siguen:

\sum_{m=0}^n P(2m)=P(2n+3)-1
\sum_{m=0}^n P(2m+1)=P(2n+4)-1
\sum_{m=0}^n P(3m)=P(3n+2)
\sum_{m=0}^n P(3m+1)=P(3n+3)-1
\sum_{m=0}^n P(3m+2)=P(3n+4)-1
\sum_{m=0}^n P(5m)=P(5n+1).

La suma de productos de términos de la sucesión de Padovan satisfacen las siguientes identidades:

\sum_{m=0}^n P(m)^2=P(n+2)^2-P(n-1)^2-P(n-3)^2
\sum_{m=0}^n P(m)^2P(m+1)=P(n)P(n+1)P(n+2)
\sum_{m=0}^n P(m)P(m+2)=P(n+2)P(n+3)-1.

Otras identidades

La sucesión de Padovan también satisface la siguiente identidad:

P(n)^2-P(n+1)P(n-1)=P(-n-7).\,

Se puede relacionar con la suma de los coeficientes coeficientes binomiales como sigue:

 \sum_{2m+n=k}{m \choose n}=P(k-2).

Por ejemplo, para k = 12, los valores (mn) con 2m + n = 12 que nos dan un coeficiente binomial distinto de cero son 6, 0), (5, 2) y (4, 4), cumpliendo:

{6 \choose 0}+{5 \choose 2}+{4 \choose 4}=1+10+1=12=P(10).\,

La fórmula de Binet

La sucesión de Padovan puede expresarse en términos de las potencias de las raíces de la ecuación

 x^3 -x -1 = 0.\,

Esta ecuación tiene tres raíces; una raíz real p conocida como el número plástico y dos raíces complejas conjugadas q y r. Con estas tres raíces podemos relacionarla con la sucesión de Fibonacci mediante la fórmula:

P\left(n\right) = \frac {p^n} {\left(3p^2-1\right)} + \frac {q^n} {\left(3q^2-1\right)}+ \frac {r^n} {\left(3r^2-1\right)}.

El módulo de las raíces q y r es menor que la unidad, por lo que si la elevamos a n cuando tiende a infinito, la potencia tiende a cero, y se llega a la siguiente expresión

P\left(n\right) \approx \frac {p^n} {\left(3p^2-1\right)} = \frac {p^n} {s}\approx \frac {p^n} {4,264632...}.

siendo s la única raíz perteneciente a la recta real de s3 − 3s2 − 23 = 0. Esta fórmula se puede utilizar para calcular rápidamente valores de la sucesión de Padovan para valores grandes de n. La relación entre términos sucesivos tiende a p, número plástico, que tiene un valor aproximado a 1.324718. También cumple con esta función en la sucesión de Perrin como o hace el número áureo en la sucesión de Fibonacci.

Enlaces


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