Segundo momento de área

Segundo momento de área
Para otros usos de este término, véase Momento de inercia (desambiguación).

En ingeniería estructural, el segundo momento de área, también denominado segundo momento de inercia o momento de inercia de área, es una propiedad geométrica de la sección transversal de elementos estructurales. Físicamente el segundo momento de inercia está relacionado con las tensiones y deformaciones máximas que aparecen por flexión en un elemento estructural y, por tanto, junto con las propiedades del material determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión.

El segundo momento de área es una magnitud cuyas dimensiones son longitud a la cuarta potencia (que no debe ser confundida con el concepto físico relacionado de inercia rotacional cuyas unidades son masa por longitud al cuadrado). Para evitar confusiones, algunos ingenieros denominan "momento de inercia de masa" al momento con unidades de masa descrito en este artículo.

Contenido

Definición

Dada una sección plana transversal Σ de un elemento estructural, el segundo momento de inercia se define para cada eje de coordenadas contenido en el plano de la sección Σ mediante la siguiente fórmula:

 I_{eje} = \iint_{\Sigma} r^2 dA

Donde:

  • Ieje, es el segundo momento de inercia alrededor del eje escogido.
  • dA, es el diferencial de área, de la sección Σ.
  • r, es la mínima distancia del elemento dA al eje escogido.

Momentos de inercia principales

Si consideramos nuevamente una sección transversal plana Σ y la parametrizamos mediante coordenadas rectangulares (x,y), entonces podemos definir dos momentos de inercia asociados a la flexión según X o según Y además del momento de inercia mediante:

 I_{x} = \iint_{\Sigma} y^2 dxdy
 I_{y} = \iint_{\Sigma} x^2 dxdy
 I_{xy} =- \iint_{\Sigma} xy dxdy

Los ejes se dice que son ejes principales de inercia si Ixy = 0, y en ese caso podemos escribir la tensión perpendicular asociada a la flexión esviada simple del elemento estructural sobre cada punto de la sección Σ estudiada como:

 \sigma(x,y) = -\frac{M_x \cdot y}{I_x}+\frac{M_y \cdot x}{I_y}

Siendo Mx y My las componentes del momento flector total sobre la sección Σ. Las unidades en el Sistema Internacional de Unidades para el segundo momento de inercia son longitud a la cuarta potencia, en la práctica la mayoría de secciones de uso en ingeniería se dan en (cm 4).

Teorema de ejes paralelos

El teorema de Steiner o de ejes paralelos permite, conocidos los momentos respecto a ejes que pasen por el centro de gravedad, calcular muy fácilmente los momentos de inercia respecto a ejes paralelos que no pasen por el centro de gravedad. Este "traslado" del segundo momento de inercia, se hace mediante la fórmula:

 I_{eje} = I_{eje}^{(CM)} + Ad_{eje}^2 \,

Donde:

  • Ieje - Segundo momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa.
  • I(CM)eje - Segundo momento de inercia para el eje que pasa por el centro de gravedad.
  • A - Área de la sección transversal.
  • d - Distancia entre el nuevo eje y el eje que pasa por el centro de gravedad.

Momentos de inercia de figuras planas[1]

  • Rectángulo de altura h y ancho b, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados del mismo, pasan por su centro de gravedad:

 I_x = {1 \over 12} bh^3 \,
 I_y = {1 \over 12} b^3h \,

  • Triángulo isósceles de base b y altura h, respecto a los ejes que, siendo paralelos a base y altura, pasan por su centro de gravedad:

 I_x = {1 \over 36} bh^3 \,
 I_y = {1 \over 48} b^3h \,

  • Triángulo rectángulo de base b y altura h, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados del mismo, pasan por su centro de gravedad:

 I_x = {1 \over 36} bh^3 \,
 I_y = {1 \over 36} b^3h \,

  • Círculo de radio R, respecto de cualquier eje que pase por su centro de gravedad:

 I_x = I_y = {1 \over 4}{\pi}R^4 \,

  • Semicírculo de radio R, respecto de los ejes que pasan por su centro de gravedad (el eje X paralelo al lado plano):

 I_x = {\pi R^4 \over 8}-{8R^4 \over 9\pi} \approx 0,10976R^4 \,
 I_y = {1 \over 8}{\pi}R^4 \,

  • Cuadrante (Cuarto de círculo) de radio R, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados planos, pasan por su centro de gravedad:

 I_x = I_y = 0,0549R^4 \,

Referencias

Véase también


Wikimedia foundation. 2010.

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