Serie divergente


Serie divergente

En matemáticas, una serie divergente es una serie infinita que no converge.

Si una serie converge, los términos individuales de la serie deben tender a cero. Por lo tanto toda serie en la cual los términos individuales no tienden a cero diverge. El ejemplo más simple de una serie divergente cuyos términos se aproximan a cero es la serie armónica

1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}.

La divergencia de la serie armónica fue demostrada en forma elegante por el matemático medieval Nicole Oresme.

A veces es posible asignarle un valor a las series divergentes utilizando un método de sumación. Por ejemplo, la sumación de Cesàro le asigna a la serie divergente de Grandi el valor ½

1 - 1 + 1 - 1 + \cdots =  {1 \over 2} .

Contenido

Teoremas sobre métodos de suma de series divergentes

Propiedades de los métodos de sumación

Si A es una función que le asigna un valor a una sucesión, es conveniente que posea ciertas propiedades si es que se pretende que sea un método de sumación útil.

  1. Regularidad. Un método es regular si, toda vez que la sucesión s converge a x, A(s) = x.
  2. Linearidad. A es lineal si es funcionalmente lineal sobre sucesiones convergentes, de forma tal que A(r + s) = A(r) + A(s) y A(ks) = k.A(s), para k un escalar (real o complejo)
  3. Estabilidad. Si s es una sucesión que comienza en s0 y s′ es la sucesión obtenida al truncar el primer valor, por lo que comienza en s1, entonces A(s) es definida si y solo si A(s′) es definida, y A(s) = A(s′ ).

La tercer condición es menos importante, y existen algunos métodos destacados, por ejemplo el método de sumación de Borel, que no la satisfacen.

Una propiedad deseable entre dos métodos de sumación A y B es que posean consistencia: A y B son consistentes si para toda sucesión s a la que ambos le asignan un valor, A(s) = B(s). Si dos métodos son consistentes, y uno suma más series que el otro, se suele decir que aquel que suma más series es más potente.

De todas formas es conveniente notar que existen métodos de sumación poderosos que sin embargo no son ni lineales ni regulares, por ejemplo transformaciones de sucesiones no-lineales como las transformaciones de sucesiones tipo Levin y las aproximaciones de Padé.


Promedio de Nõrlund

Promedio abeliano

Sea λn es una sucesión estrictamente creciente que tiende hacia ∞, y λ0 ≥ 0. Y sea an=sn+1-sn una serie infinita, cuya sucesión correspondiente es s. Y suponiendo que

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \exp(-\lambda_n x)

converge para todos los números reales positivos x. Entonces el promedio abeliano Aλ se define como

A_\lambda(s) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x).

Una serie de este tipo es llamada serie generalizada de Dirichlet; en el ámbito de la física, este método se lo conoce como regularización del heat-kernel.

Los promedios abelianos son regulares, lineales, y estables, pero no siempre resultan ser consistentes entre sí. Sin embargo, existen algunos casos especiales de promedios abelianos que son métodos de sumación muy importantes.


Sumación de Abel

Si λn = n, entonces se obtiene el método de Sumación de Abel. Donde

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \exp(-nx) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n,

con z = exp(-x). Y por lo tanto el límite de f(x) cuando x tiende a 0 desde los reales positivos es el límite de la serie de potencias para f(z) cuando z tiende a 1 por abajo desde los reales positivos, y la suma de Abel A(s) se define como

A(s) = \lim_{z \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=0}^\infty a_n z^n.

La sumación de Abel en parte es interesante porque es consistente con la sumación de Cesàro aunque es más potente que esta; si Ck(s) = a para todo k positivo, entonces A(s) = a. Por lo tanto la suma de Abel es regular, lineal, estable, y consistente con la sumación de Cesàro.

Sumación de Lindelöf

Véase también

Referencias

  • Divergent Series by G. H. Hardy, Oxford, Clarendon Press, 1949.
  • Extrapolation Methods. Theory and Practice by C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, North-Holland, 1991.
  • Padé Approximants by G. A. Baker, Jr. and P. Graves-Morris, Cambridge U.P., 1996.

Wikimedia foundation. 2010.

Mira otros diccionarios:

  • Serie divergente — Série divergente En mathématiques, une série infinie est dite divergente si la suite de ses sommes partielles n est pas convergente. En ce qui concerne les séries de nombres réels, ou de nombres complexes, une condition nécessaire de convergence… …   Wikipédia en Français

  • Série divergente — En mathématiques, une série infinie est dite divergente si la suite de ses sommes partielles n est pas convergente. En ce qui concerne les séries de nombres réels, ou de nombres complexes, une condition nécessaire de convergence est que le terme… …   Wikipédia en Français

  • série divergente — diverguojančioji eilutė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. divergent series vok. divergente Reihe, f rus. расходящийся ряд, m pranc. série divergente, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Série numérique — Série (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Série. En mathématiques, la série constitue une généralisation de la notion de somme, pour une succession infinie de termes. L étude des séries consiste à effectuer la somme d un nombre fini …   Wikipédia en Français

  • Série semi-convergente — Série (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Série. En mathématiques, la série constitue une généralisation de la notion de somme, pour une succession infinie de termes. L étude des séries consiste à effectuer la somme d un nombre fini …   Wikipédia en Français

  • série — [ seri ] n. f. • 1715; lat. series, spécialisé dès le XVIIe en math. 1 ♦ Math. Somme d un nombre fini de termes. Série harmonique : somme des inverses des entiers. Série convergente, telle que la somme de ses n premiers termes tend vers une… …   Encyclopédie Universelle

  • divergente — (Del ant. part. act. de divergir; lat. divergens, entis). adj. Que diverge. ☛ V. serie divergente, sucesión divergente …   Diccionario de la lengua española

  • Serie harmonique — Série harmonique Pour les articles homonymes, voir Série et Harmonique. En mathématiques, la série harmonique est une série de nombres réels. C est la série des inverses des entiers naturels non nuls. Sujet d étude classique en analyse, elle fait …   Wikipédia en Français

  • Serie de potencias formal — Saltar a navegación, búsqueda En matemática, se llama serie de potencias formal a una expresión matemática que extiende las propiedades de las series de potencias en cuerpos como el de los reales o el de los complejos, permitiendo dar sentido… …   Wikipedia Español

  • serie — (Del lat. serĭes). 1. f. Conjunto de cosas que se suceden unas a otras y que están relacionadas entre sí. 2. serial (ǁ obra). 3. Conjunto de sellos, billetes u otros valores que forman parte de una misma emisión. 4. Mat. Expresión de la suma de… …   Diccionario de la lengua española


Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.