Sigma-álgebra

Sigma-álgebra

En matemáticas, una σ-álgebra (léase sigma-álgebra) sobre un conjunto X es una familia Σ no vacía de subconjuntos de X, cerrada bajo complementos, uniones e intersecciones contables. Las σ-álgebras (también conocidas como "tribus") se usan principalmente para definir medidas en X. El concepto es muy importante en análisis matemático y en teoría de la probabilidad.

Contenido

Definición formal

Formalmente, una familia de conjuntos de X (o, equivalentemente, un subconjunto del conjunto de las partes de X), a la que llamaremos Σ es una σ-álgebra sobre X si y solo si se cumplen las siguientes propiedades:

  1. El conjunto vacío está en Σ, es decir,  \varnothing \in \Sigma.
  2. Si E está en Σ, también está su conjunto complementario X\E.
  3. Si E1, E2, E3, ... es una sucesión (contable) en Σ, entonces su unión (contable) también está en Σ. Entiéndase contable como finito o numerable.

En virtud de la segunda propiedad, la primera propiedad equivale a X \in \Sigma; de 2 y 3 se concluye que la σ-álgebra también es cerrada bajo intersecciones contables (gracias a las leyes de De Morgan).

Los elementos de la σ-álgebra se denominan conjuntos Σ-medibles (o simplemente conjuntos medibles, cuando no hay ambigüedad sobre Σ). Un par ordenado (X, Σ), donde X es un conjunto y Σ una σ-álgebra sobre éste, se denomina espacio medible. Una función entre dos espacios medibles se denomina medible si la preimagen de todo conjunto medible es también medible; esto es, si (X, Σ) y (Y, Ω) son dos espacios medibles, una función f:XY es medible si para todo E \in \Omega, f−1(E) \in \Sigma.

Una medida es una cierta clase de función medible de una σ-álgebra en el intervalo [0,∞].

Notación

Las σ-álgebras usualmente se denotan con letras manuscritas mayúsculas en lugar de Σ, con lo que (X,\mathcal{A}) se usa en lugar de (X,Σ). Esto es útil para evitar que Σ se confunda con el operador de sumatoria.

Espacio medible

Como se ha dicho antes, un par (X,Σ) formado por un conjunto X y un σ-álgebra Σ se denomina espacio medible, o también espacio de Borel.[1] Algunos autores, sin embargo, reservan el término espacio de Borel a aquellas σ-álgebras generadas por una topología.

Es importante no confundir este término con el muy parecido y muy relacionado espacio de medida. Un espacio de medida consiste en un espacio medible dotado de una medida.

Ejemplos

  • Si X es cualquier conjunto, la familia { \varnothing ,X} es una σ-álgebra sobre X, llamada σ-álgebra trivial por razones obvias.
  • La familia de subconjuntos de X que son contables o de conjunto complementario contable (esta familia es distinta del conjunto de las partes de X si y solo si X es incontable). Esta es la σ-álgebra generada por los conjuntos unitarios de X.
  • Si {Σα} es una familia de σ-álgebras sobre X, la intersección de todos los conjuntos Σα es también una σ-álgebra sobre X.

Si U es una familia arbitraria de subconjuntos de X, existe una mínima σ-álgebra sobre X que contiene a U, llamada σ-álgebra generada por U. Ésta se denota por σ(U), y se puede construir como sigue:

  • Es claro que existe al menos una σ-álgebra sobre X que contiene a U; a saber, el conjunto de partes de X.
  • Sea Φ la familia (no vacía) de todas las σ-álgebras sobre X que contienen a U (esto es, una σ-álgebra Σ sobre X está en Φ si y solo si U ⊆ Σ).
  • Defínase entonces σ(U) como la intersección de todas las σ-álgebras en Φ. Por el párrafo anterior, σ(U) es una σ-álgebra sobre X; y por construcción, es la mínima que contiene a U.

Esto lleva a lo que tal vez sea el ejemplo más importante: el álgebra de Borel, o boreliana, sobre un espacio topológico es la σ-álgebra generada por el conjunto de conjuntos abiertos (o equivalentemente, el conjunto de conjuntos cerrados). En general, esta σ-álgebra no es el conjunto de partes, lo cual puede demostrarse usando el axioma de elección.

En el espacio euclídeo Rn, cabe destacar otra σ-álgebra: la formada por los conjuntos Lebesgue-medibles. Ésta contiene más conjuntos que el álgebra de Borel en Rn, y es la que se prefiere en teoría de integración.

Véase también

Referencias


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