Sigma-álgebra

En matemáticas, una σ-álgebra (léase sigma-álgebra) sobre un conjunto X es una familia Σ no vacía de subconjuntos de X, cerrada bajo complementos, uniones e intersecciones contables. Las σ-álgebras (también conocidas como "tribus") se usan principalmente para definir medidas en X. El concepto es muy importante en análisis matemático y en teoría de la probabilidad.

Definición formal

Formalmente, una familia de conjuntos de X (o, equivalentemente, un subconjunto del conjunto de las partes de X), a la que llamaremos Σ es una σ-álgebra sobre X si y solo si se cumplen las siguientes propiedades:

1. El conjunto vacío está en Σ, es decir, $\varnothing \in \Sigma$.
2. Si E está en Σ, también está su conjunto complementario X\E.
3. Si E₁, E₂, E₃, ... es una sucesión (contable) en Σ, entonces su unión (contable) también está en Σ. Entiéndase contable como finito o numerable.

En virtud de la segunda propiedad, la primera propiedad equivale a X $\in \Sigma$; de 2 y 3 se concluye que la σ-álgebra también es cerrada bajo intersecciones contables (gracias a las leyes de De Morgan).

Los elementos de la σ-álgebra se denominan conjuntos Σ-medibles (o simplemente conjuntos medibles, cuando no hay ambigüedad sobre Σ). Un par ordenado (X, Σ), donde X es un conjunto y Σ una σ-álgebra sobre éste, se denomina espacio medible. Una función entre dos espacios medibles se denomina medible si la preimagen de todo conjunto medible es también medible; esto es, si (X, Σ) y (Y, Ω) son dos espacios medibles, una función f:X→Y es medible si para todo E $\in \Omega$, f⁻¹(E) $\in \Sigma$.

Una medida es una cierta clase de función medible de una σ-álgebra en el intervalo [0,∞].

Notación

Las σ-álgebras usualmente se denotan con letras manuscritas mayúsculas en lugar de Σ, con lo que $(X,\mathcal{A})$ se usa en lugar de (X,Σ). Esto es útil para evitar que Σ se confunda con el operador de sumatoria.

Espacio medible

Como se ha dicho antes, un par (X,Σ) formado por un conjunto X y un σ-álgebra Σ se denomina espacio medible, o también espacio de Borel.^[1] Algunos autores, sin embargo, reservan el término espacio de Borel a aquellas σ-álgebras generadas por una topología.

Es importante no confundir este término con el muy parecido y muy relacionado espacio de medida. Un espacio de medida consiste en un espacio medible dotado de una medida.

Ejemplos

• Si X es cualquier conjunto, la familia {$\varnothing$,X} es una σ-álgebra sobre X, llamada σ-álgebra trivial por razones obvias.

• El conjunto de partes de X.

• La familia de subconjuntos de X que son contables o de conjunto complementario contable (esta familia es distinta del conjunto de las partes de X si y solo si X es incontable). Esta es la σ-álgebra generada por los conjuntos unitarios de X.

• Si {Σ_α} es una familia de σ-álgebras sobre X, la intersección de todos los conjuntos Σ_α es también una σ-álgebra sobre X.

Si U es una familia arbitraria de subconjuntos de X, existe una mínima σ-álgebra sobre X que contiene a U, llamada σ-álgebra generada por U. Ésta se denota por σ(U), y se puede construir como sigue:

• Es claro que existe al menos una σ-álgebra sobre X que contiene a U; a saber, el conjunto de partes de X.
• Sea Φ la familia (no vacía) de todas las σ-álgebras sobre X que contienen a U (esto es, una σ-álgebra Σ sobre X está en Φ si y solo si U ⊆ Σ).
• Defínase entonces σ(U) como la intersección de todas las σ-álgebras en Φ. Por el párrafo anterior, σ(U) es una σ-álgebra sobre X; y por construcción, es la mínima que contiene a U.

Esto lleva a lo que tal vez sea el ejemplo más importante: el álgebra de Borel, o boreliana, sobre un espacio topológico es la σ-álgebra generada por el conjunto de conjuntos abiertos (o equivalentemente, el conjunto de conjuntos cerrados). En general, esta σ-álgebra no es el conjunto de partes, lo cual puede demostrarse usando el axioma de elección.

En el espacio euclídeo Rⁿ, cabe destacar otra σ-álgebra: la formada por los conjuntos Lebesgue-medibles. Ésta contiene más conjuntos que el álgebra de Borel en Rⁿ, y es la que se prefiere en teoría de integración.

Véase también

• Álgebra de conjuntos

Referencias

1. ↑ http://planetmath.org/encyclopedia/BorelSubsetSpace.html