Singularidad matemática

Singularidad matemática
Para otros usos de este término, véase Singularidad.

Dentro de la amplia variedad de funciones matemáticas existentes se encuentran algunas que presentan comportamientos extraños e inesperados cuando se le asignan determinados valores a la/s variable/s independiente/s. Dicho comportamiento se describe con el nombre de singularidad de la función.

Contenido

Concepto intuitivo de continuidad

Intuitivamente se asocia la idea de continuidad de una función al hecho de no levantar el lápiz cuando se representa gráficamente la función. Las discontinuidades generalmente se clasifican en varios tipos, siendo las llamadas de salto uno de los tipos más frecuentes. Dentro de dicho tipo existen las discontinuidades de salto puntuales, en las que la función se desvía un único punto del camino más razonable; las discontinuidades de salto finito, en las cuales la función salta un valor y prosigue de forma continua a partir de ahí; y por último las discontinuidades de salto infinito, en las que la función alcanza un valor infinito. Estas últimas son las que reciben el nombre de singularidades.

Criterio de análisis de continuidad en funciones de una variable:

Una función f \, es continua en x=c \, si y sólo si:

  1. f(c) \, está definido.
  2. Existe el límite de f(x) \, cuando x \, tiende a c \,.
  3. El límite de f(x) \, cuando x \, tiende a c \, coincide con f(c) \,.

Funciones singulares

Existe una gran variedad de funciones elementales que contienen singularidades en sus dominios. Una de las más comunes suele ser la hipérbola elemental y(x)=\frac{1}{x} \,. Esta función posee una singularidad en el punto x=0 \,, en dicho punto la función presenta un comportamiento que tiende al infinito. Dicha función pone de manifiesto la carácterística de que toda función racional cuyo denominador se anule presentará una singularidad en el punto en el que eso suceda. así pues la función y(x)=(2x-8)/(4x-12) \, presentará una singularidad en el punto x=3 \,. Otras funciones que contienen singularidades son y(x)=\log x \, ó y(x)=\tan x \,.

Análisis de las singularidades

Normalmente las singularidades no pueden estudiarse empleando técnicas aritméticas elementales, ya que suelen implicar operaciones que son imposibles de realizar (por ejemplo, dividir por cero). En lugar de eso, el método preferido para analizar el comportamiento de las funciones en sus singularidades es el paso al límite. Estudiando el límite de una función en su punto singular se puede obtener información valiosa de su comportamiento en ese punto. Como ejemplo comentar que nadie puede calcular que y(x) = 1 / x toma en el punto x = 0 el valor infinito, sin embargo, estudiando el valor que toma su límite en ese punto y analizando la tendencia de la función en las cercanías es posible asegurarlo.

Singularidades en variable compleja

Sea  z_0 \in \mathbb{C}, y una función  f:\mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C} se dice que f(z) es singular en z0 si no es analítica en z0.

Además, si z0 es una singularidad de f(z), decimos que es una singularidad no aislada si \forall r>0,  \ \ \exists \ z_1 \in \triangle_0 (z_0,r)/ f(z) es singular en z1. Es decir, a una distancia arbitraria, sigo encontrando otra singularidad. z0 es una singularidad aislada, si z0 es una singularidad y no es no aislada. Dentro de las singularidades aisladas, las podemos clasificar en:

  • Evitables: Puede definirse un valor tal que f(z) sea analitica en z0.
  • Polares: f(z) tiende a  \infty al acercarse a z0.
  • Esenciales: El límite no es independiente del camino, y aún más, la función toma valores por todo el plano complejo (excepto uno) en un entorno a z0 y lo hace infinitas veces.

Es posible estudiar el tipo de singularidad no aislada, mediante el desarrollo de Laurent en la corona centrada en z0. Si la serie principal (la de potencias negativas) tiene finitos términos, se trata de una singularidad polar, caso contrario, es esencial. Lógicamente se desprende, que si el desarrollo de Laurent se reduce a una serie de Taylor, la singularidad es evitable.

Interpretación física de las singularidades

El estudio de las singularidades desde el punto de vista matemático se limita específicamente a resolver el problema de la función que no está definida en el punto de estudio. Teorías tales como el electromagnetismo clásico de Maxwell contienen singularidades en sus ecuaciones básicas. En la teoría de Maxwell una de las singularidades más conocidas es la que predice un campo eléctrico infinito en el lugar donde se encuentra colocada una carga puntual.

Una de las singularidades más famosas de la física es la que se encuentra en la solución de Schwarzschild de las ecuaciones de campo de la relatividad general, singularidad en el continuo espacio-tiempo que predice la existencia de agujeros negros.

Actualmente uno de los campos de discusión abiertos más apasionante de la física es aquel que pretende estudiar si hubo o no singularidad en el principio del universo y si la habrá en el final del mismo.


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Mira otros diccionarios:

  • Singularidad — puede referirse a: Singularidad matemática, un punto donde una función tiende a infinito o está mal definida en otro sentido. Singularidad espaciotemporal, es el conjunto de puntos de un modelo astrofísico, en donde la curvatura del espacio… …   Wikipedia Español

  • Singularidad de Prandtl-Glauert — Para otros usos de este término, véase Singularidad. Esquema del fenómeno …   Wikipedia Español

  • Singularidad de Prandtl-Glauert — La singularidad de Prandtl Glauert es un punto en el que ocurre una caída súbita de la presión del aire y se considera generalmente como la causa de la nube de condensación visible que aparece cuando un avión atraviesa la barrera del sonido… …   Enciclopedia Universal

  • Singularidad desnuda — En la relatividad general, una singularidad desnuda es una singularidad gravitacional carente de horizonte de sucesos. Las singularidades en los agujeros negros están siempre circundadas por un área que impide la fuga de la luz y por esto es… …   Wikipedia Español

  • Historia de la matemática — Página del Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado de Muhammad ibn Mūsā al Khwārizmī (820 d.C.) La historia de las matemáticas es el área de estudio que abarca las investigaciones sobre los orígenes de los descubrimi …   Wikipedia Español

  • Explosión sónica — Saltar a navegación, búsqueda Fotografía de un caza F/A 18 Hornet de la Armada de los Estados Unidos en el mismo instante en que atraviesa la barrera del sonido. Nótese la condensación de la nube alrededor del ápice de movimiento causada por la… …   Wikipedia Español

  • Teoría de las catástrofes — La teoría de las catástrofes es un sistema dinámico que puede representar fenómenos naturales que, por sus características, no pueden ser descritos por el cálculo diferencial de manera satisfactoria. En ese sentido, es un modelo matemático de la… …   Wikipedia Español

  • Frente de ráfaga — Información sobre el libro Gust Front de John Ringo Imágenes de un frente en un radar con las velocidades radiales y frontales dibujadas, en la 3ª abajo. Como límite frontal, también conocido como frente de ráfagas, es una zona de separación en… …   Wikipedia Español

  • Relatividad general — Algunas partes de este artículo pueden resultar complicadas, en ese caso se recomienda Introducción a la relatividad general Representación artística de la explosión de la supernova SN 2006gy, situada a 238 millones de años luz. De ser válido el… …   Wikipedia Español

  • Multifractal — Un multifractal un conjunto multifractal es una clase de conjunto fractal formado por una jerarquía de subconjuntos (variedades), cada uno de ellos de carácter fractal (variedades fractales). Por lo general, se considera que el multifractal es… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”