Sucesión de Cauchy

Sucesión de Cauchy

En matemáticas, una sucesión de Cauchy es una sucesión tal que la distancia entre dos términos se va reduciendo a medida que se avanza en la sucesión. Se llama así en honor al matemático francés Augustin Louis Cauchy (1805). El interés de las sucesiones de Cauchy radica en que en un espacio métrico completo todas las sucesiones de Cauchy son convergentes, siendo en general más fácil verificar que una sucesión es de Cauchy que obtener el punto de convergencia.

Contenido

En Números Reales

Definición

Sea \left\{{x_n}\right\}_{n\epsilon\mathbb{N}} una sucesión. Diremos que \left\{{x_n}\right\}_{n\epsilon\mathbb{N}} es de Cauchy, si para todo número real ε > 0 existe un entero positivo N tal que para todos los números naturales m,n > N

| xmxn | < ε,

donde la barra vertical denota la norma (que en el caso particular del campo de los reales viene siendo el valor absoluto).

Análogamente, se pueden definir sucesiones de Cauchy de números complejos.

Propiedades

Las sucesiones de Cauchy de números reales tienen las siguientes propiedades:

  1. Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.
  2. Toda sucesión de Cauchy está acotada
  3. Criterio de convergencia de Cauchy: Una sucesión de números reales es convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy. Es decir, el conjunto de los números reales es un espacio métrico completo.

Pueden verse demostraciones de las propiedades en Introducción al análisis matemático de una variable (Bartle, Sherbert, 2º edición, año 1996)

En un Espacio Métrico

Definición

En un Espacio métrico (M,d), una sucesión

x_1, x_2, x_3, \ldots

se dice de Cauchy si para todo número real ε > 0 existe un número natural N, tal que para todos m, n > N, la distancia

d(xm,xn) < ε

Esto implica que los elementos de la sucesión se van acercando uno con otro.

Propiedades

  1. Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.
  2. Toda sucesión de Cauchy está acotada

En \mathbb{Q} las sucesiones de Cauchy no tienen porque ser convergentes. El ejemplo clásico es a(n) = (1 + 1 / n)n que es de Cauchy pero cuyo límite (e) no es racional. Al parecer de lo trivial del ejemplo anterior donde la sucesión de Cauchy no convergía, en espacios más abstractos pero no por eso menos familiares, como los espacios de funciones, demostrar la completitud a veces no es tan trivial; una de las razones de esto es que la completitud no se preserva necesariamente con homeomorfismos como pasa con la conexidad y la compacidad.

Completitud

Un Espacio Métrico (X,d) se dice que es completo si toda sucesión de Cauchy convergente tiene su límite dentro del espacio X.

Ejemplos

  • Los números reales son completos.

Wikimedia foundation. 2010.

См. также в других словарях:

  • Sucesión de Cauchy — En análisis matemático, una sucesión de Cauchy es una sucesión tal que la distancia entre dos términos se va reduciendo a medida que se avanza. Se llaman así en honor al matemático francés Augustin Louis Cauchy. Su interés radica en que se puede… …   Enciclopedia Universal

  • Cauchy — Cauchy, Agustin Louis, barón de Cauchy, desigualdad de Cauchy, ecuaciones de Cauchy, sucesión de Cauchy, teorema de …   Enciclopedia Universal

  • Sucesión matemática — Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada, como revistas especializadas, monografías, prensa diaria o páginas de Internet fidedignas. Puedes añadirlas así o avisar …   Wikipedia Español

  • Cauchy, sucesión de — ► MATEMÁTICAS Sucesión infinita xn que cumple: para un ε > 0 cualquiera, existe un número natural M tal que para todo n, m > M se verifica . Se demuestra que toda sucesión de Cauchy es convergente …   Enciclopedia Universal

  • Sucesión de Farey — Una sucesión de Farey es una sucesión matemática de fracciones irreductibles entre 0 y 1 que tienen un denominador menor o igual a n en orden creciente. Cada sucesión de Farey comienza en el 0, denotado por la fracción 0⁄1, y termina en el 1,… …   Wikipedia Español

  • Límite de una sucesión — «Convergencia (matemática)» redirige aquí. Para criterios de convergencia de series, véase Serie convergente. El límite de una sucesión es uno de los conceptos más a …   Wikipedia Español

  • Producto de Cauchy — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas, el producto de Cauchy, (en honor a Augustin Louis Cauchy), de dos series estrictamente formales (aunque no necesariamente convergentes) por lo general, de números reales o complejos, se define… …   Wikipedia Español

  • Augustin Louis Cauchy — Augustin Louis Cauchy. Nacimiento 21 de agosto de 1789 [[Archivo:{{{bandera alias 1638}}}|20x20px|border|link=|Bandera d …   Wikipedia Español

  • Teorema de Cauchy-Hadamard — En matemática, el Teorema de Cauchy Hadamard, llamado así por los matemáticos franceses Augustin Louis Cauchy y Jacques Hadamard, estableciendo el radio de convergencia de una serie de potencias que aproxima una función en torno de un punto a.… …   Wikipedia Español

  • Convergencia — Saltar a navegación, búsqueda Para otros usos de este término, véase convergencia (desambiguación). En análisis matemático, el concepto de convergencia hace referencia a la propiedad que poseen algunas sucesiones numéricas de tender a un límite.… …   Wikipedia Español


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»