Tautología

Para otros usos de este término, véase Tautología (retórica).

En lógica, una tautología (del griego ταυτολογία, "decir lo mismo") es una fórmula bien formada de un sistema de lógica proposicional que resulta verdadera para cualquier interpretación; es decir, para cualquier asignación de valores de verdad que se haga a sus fórmulas atómicas.^{[1] [2]} La construcción de una tabla de verdad es un método efectivo para determinar si una fórmula cualquiera es una tautología o no.^[2]

Tablas de verdad

Artículo principal: Tabla de verdad

En un sistema de lógica proposicional, una interpretación no es más que una función que asigna un único valor de verdad a todas las fórmulas atómicas bajo consideración. Diferentes interpretaciones, por lo tanto, difieren sólo en las asignaciones de valores de verdad que hacen. Una tautología es una fórmula bien formada que bajo cualquier interpretación de sus componentes atómicos, tiene valor de verdad 1 (verdadero). Por lo tanto, para determinar si una fórmula cualquiera es una tautología, basta con considerar todas las posibles interpretaciones de las fórmulas atómicas, y calcular el valor de verdad del todo. Esto se logra mediante una tabla de verdad. Por ejemplo, considérese la fórmula p ∧ q. Como a cada fórmula atómica puede asignársele uno de dos posibles valores de verdad, hay en total 2² = 4 posibles combinaciones de valores de verdad. Es decir, cuatro interpretaciones posibles: o ambas son verdaderas; o p es verdadera y q falsa; o p es falsa y q verdadera; o ambas son falsas. Esto puede presentarse mediante una simple tabla:

$\begin{array}{c|c} p & q \\ \hline 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array}$

Para cada una de estas interpretaciones, puede calcularse el valor de verdad de la fórmula p ∧ q. Los resultados pueden presentarse nuevamente mediante una tabla:

$\begin{array}{c|c||c} p & q & p \and q \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}$

Esta es la tabla de verdad de la fórmula p ∧ q. Como se ve, esta fórmula sólo es verdadera bajo una interpretación: aquella en la que ambas fórmulas atómicas son verdaderas. Una tautología es una fórmula cuyo valor de verdad es 1 para todas las interpretaciones posibles de las fórmulas atómicas. Por lo tanto, p ∧ q no es una tautología. En cambio, la siguiente tabla de verdad muestra una fórmula que sí lo es:

$\begin{array}{c|c||c|c} p & q & (p \and q) & (p \and q) \to p \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}$

Si una fórmula tiene n fórmulas atómicas, entonces tiene 2ⁿ interpretaciones posibles. En muchos casos, por lo tanto, las tablas de verdad pueden ser muy grandes. Lo importante, sin embargo, es que dado que la lógica proposicional no admite fórmulas infinitas, el número de interpretaciones posibles siempre será un número finito, y por lo tanto siempre será posible decidir si una fórmula cualquiera es una tautología o no.

Véase también

• Cálculo lógico
• Lógica proposicional
• Tabla de verdad
• Verdad lógica
• Argumento

Notas y referencias

1. ↑ «tautology» (en inglés), The Oxford Dictionary of Philosophy, Oxford University Press, http://www.oxfordreference.com/views/ENTRY.html?subview=Main&entry=t98.e3047, consultado el 7 de octubre de 2009 
2. ↑ ^{a b} Barcan Marcus, Ruth, «tautology» (en inglés), The Oxford Companion to Philosophy, Oxford University Press, http://www.oxfordreference.com/views/ENTRY.html?subview=Main&entry=t116.e2481, consultado el 7 de octubre de 2009