Teorema fundamental del álgebra

Teorema fundamental del álgebra

El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces[1] como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo p de grado n > 0, la ecuación p(z) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades. De manera equivalente:

  • El cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.
  • Todo polinomio complejo de grado n se puede expresar como un producto de n polinomios de la forma (x-c_i)\,.

El teorema se establece comúnmente de la siguiente manera: Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja).[2] Aunque ésta en principio parece ser una declaración más débil, implica fácilmente la forma completa por la división polinómica sucesiva por factores lineales.

El nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema del análisis matemático que del álgebra.

Contenido

Historia

Pedro Rothe (Petrus Roth), en su libro Arithmetica Philosophica (publicado en 1608), escribió que una ecuación polinómica de grado n (con coeficientes reales) puede tener n soluciones. Alberto Girardo, en su libro L'invention nouvelle en l'Algebre (publicado en 1629), aseveró que una ecuación de grado n tiene n soluciones, pero no menciona que dichas soluciones deban ser números reales. Más aún, él agrega que su aseveración es válida "salvo que la ecuación sea incompleta", con lo que quiere decir que ninguno de los coeficientes del polinomio sea igual a cero. Sin embargo, cuando explica en detalle a qué se está refiriendo, se hace evidente que el autor piensa que la aseveración siempre es cierta; en particular, muestra que la ecuación

x^4 = 4\,x - 3

a pesar de ser incompleta, tiene las siguientes cuatro soluciones (la raíz 1 tiene multiplicidad 2):

1,\quad 1,\quad -1 + i\,\sqrt2\quad\mathrm{y}\quad  -1 - i\,\sqrt2.

Leibniz en 1702 y más tarde Nikolaus Bernoulli, conjeturaron lo contrario.

Como se mencionará de nuevo más adelante, se sigue del teorema fundamental del álgebra que todo polinomio con coeficientes reales y de grado mayor que cero se puede escribir como un producto de polinomios con coeficientes reales del cual sus grados son 1 ó 2. De todas formas, en 1702 Leibniz dijo que ningún polinomio de tipo x4 + a4 (con a real y distinto de 0) se puede escribir en tal manera. Luego, Nikolaus Bernoulli hizo la misma afirmación concerniente al polinomio x4 − 4x3 + 2x2 + 4x + 4, pero recibió una carta de Euler en 1742 en el que le decía que su polinomio pasaba a ser igual a:

(x^2-(2+\alpha)x+1+\sqrt{7}+\alpha)(x^2-(2-\alpha)x+1+\sqrt{7}-\alpha),\,

donde α es la raíz cuadrada de \scriptstyle 4+2\sqrt7.

mientras que:

x^4+a^4=(x^2+a\sqrt{2}x+a^2)(x^2-a\sqrt{2}x+a^2).\,

El primer intento que se hizo para demostrar el teorema lo hizo d'Alembert en 1746. Su demostración tenía un fallo, en tanto que asumía implícitamente como cierto un teorema (actualmente conocido como el teorema de Puiseux) que no sería demostrado hasta un siglo más tarde. Entre otros Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y Laplace (1795) intentaron demostrar este teorema.

A finales del siglo XVIII, se presentaron dos nuevas pruebas, una por James Wood y otra por Gauss (1799), pero ambas igualmente incorrectas. Finalmente, en 1806 Argand publicó una prueba correcta para el teorema, enunciando el teorema fundamental del álgebra para polinomios con coeficientes complejos. Gauss produjo otro par de demostraciones en 1816 y 1849, siendo esta última otra versión de su demostración original.

El primer libro de texto que contiene la demostración de este teorema fue escrito por Cauchy. Se trata de Course d'anlyse de l'École Royale Polytechnique (1821). La prueba es la debida a Argand, pero sin embargo en el texto no se le da crédito.

Ninguna de las pruebas mencionadas más arriba son constructivas. Es Weierstrass quien por primera vez, a mediados del siglo XIX, menciona el problema de encontrar una prueba constructiva del teorema fundamental del álgebra. En 1891 publica una demostración de este tipo. En 1940 Hellmuth Knesser consigue otra prueba de este estilo, que luego sería simplificada por su hijo Marin Kneser en 1981.

Demostración

Sea p un polinomio de grado n. p es una función entera. Para cada constante positiva m, existe un número real positivo r tal que

|p(z)| > m,\quad\mbox{si}\quad |z|>r.

Si p no tiene raíces, la función f = 1 / p, es una función entera con la propiedad de que para cualquier número real \epsilon mayor que cero, existe un número positvo r tal que

|f(z)| < \epsilon,\quad\mbox{si}\quad |z|>r.

Concluimos que la función f es acotada. Pero el teorema de Liouville dice que si f es una función entera y acotada, entonces, f es constante y esto es una contradicción.

De manera que f no es entera y por tanto p tiene al menos una raíz. p se puede escribir por tanto como el producto

p(z) = (z-\alpha_1)q(z),\,

donde α1 es una raíz de p y q es un polinomio de grado n − 1. Por el argumento anterior, el polinomio q a su vez tiene al menos una raíz y se lo puede factorizar nuevamente.

Repitiendo este proceso n − 1 veces,[3] concluimos que el polinomio p puede escribirse como el producto

 p(z) = k\,(z-\alpha_1)(z-\alpha_2)\cdots(z-\alpha_n)

donde α1... αn son las raíces de p (no necesariamente distintas) y k es una constante.

Corolarios

Como el teorema fundamental del álgebra puede ser visto como la declaración de que el cuerpo de los números complejos es algebraicamente cerrado, se sigue que cualquier teorema concerniente a cuerpos algebraicamente cerrados aplican al cuerpo de los números complejos. Se muestran aquí algunas consecuencias del teorema, acerca del cuerpo de los números reales o acerca de las relaciones entre el cuerpo de los reales y el cuerpo de los complejos:

  • Todo polinomio en una variable x con coeficientes reales es el producto de un polinomio constante de la forma x + a con a real, y polinomios de la forma x2 + ax + b con a y b reales y a2 − 4b < 0 (que es lo mismo que decir que el polinomio x2 + ax + b no tiene raíces reales).
  • Toda función racional en una variable x, con coeficientes reales, se puede escribir como la suma de una función polinómica con funciones racionales de la forma a / (xb)n(donde n es un número natural, y a y b son números reales), y funciones racionales de la forma (ax + b) / (x2 + cx + d)n (donde n es un número natural, y a, b, c, y d son números reales tales que c2 − 4d < 0). Un corolario de esto es que toda función racional en una variable y coeficientes reales tiene una primitiva elemental.

Referencias

  1. Se dice que el número z es una raíz de un polinomio p si p(z) = 0.
  2. J. Rey Pastor, P. Pi Calleja, C. A. Trejo. Análisis matemático. I. Buenos Aires: Kapelusz. §18-1.  El texto dice: Toda ecuación algebraica en una incógnita z de grado n ≥ 1.... La cita fue adaptada al contexto del artículo.
  3. En el último paso, lo que queda es un polinomio de grado uno multiplicado por una constante

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Mira otros diccionarios:

  • Teorema fundamental del álgebra — Introducción Cualquier ecuación de cualquier grado siempre tiene por lo menos una solución ya sea un número real o un número complejo. Posiblemente extrañe un poco que exista preocupación en este sentido pero ocurre que hay ecuaciones no… …   Enciclopedia Universal

  • álgebra, teorema fundamental del — Teorema de ecuaciones demostrado en 1799 por Carl Friedrich Gauss. Establece que toda ecuación polinomial (ver polinomio) de grado n con números complejos como coeficientes, tiene n raíces o soluciones en los números complejos …   Enciclopedia Universal

  • Teorema fundamental de la aritmética — En matemática, y particularmente en la teoría de números, el teorema fundamental de la Aritmética o teorema de factorización única afirma que todo entero positivo se puede representar de forma única como producto de factores primos. Por ejemplo,… …   Wikipedia Español

  • Teorema fundamental — En matemáticas, hay numerosos teoremas que reciben el nombre de teorema fundamental de distintos campos. Los nombres son generalmente fieles a la tradición, de forma que, por ejemplo, el teorema fundamental de la aritmética se refiere a lo que… …   Wikipedia Español

  • Teorema fundamental sobre homomorfismos — Saltar a navegación, búsqueda En álgebra abstracta, para un número de estructuras algebraicas, el teorema fundamental sobre homomorfismos relaciona la estructura de dos objetos entre los cuales se dé un homomorfismo, y del núcleo y de la imagen… …   Wikipedia Español

  • Teorema fundamental de homomorfismos — Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada, como revistas especializadas, monografías, prensa diaria o páginas de Internet fidedignas. Puedes añadirlas así o avisar …   Wikipedia Español

  • Teorema fundamental de la teoría de Galois — En matemáticas, el teorema fundamental de la teoría de Galois es un resultado que describe la estructura de ciertos tipos de extensiones de cuerpos. En su forma más básica el teorema dice que dada una extensión de cuerpos E/F que sea finita y… …   Wikipedia Español

  • Teorema fundamental sobre homomorfismos — En álgebra abstracta, para un número de estructuras algebraicas, el teorema fundamental sobre homomorfismos relaciona la estructura de dos objetos entre los cuales se dé un homomorfismo, y del núcleo y de la imagen del homomorfismo. Para los… …   Enciclopedia Universal

  • Fundamental — puede hacer referencia a: Lo relativo a los fundamentos de alguna cuestión, es decir:[1] a lo que sea su principio o parte principal (véase también origen (desambiguación), esencia, y otros términos relacionados). a lo que sea su base o cimientos …   Wikipedia Español

  • Teorema de factorización de Weierstrass — En matemática, concretamente en análisis complejo, el teorema de factorización de Weierstrass, llamado así en honor a Karl Weierstrass, asegura que las funciones enteras pueden ser representadas mediante un producto que envuelve sus ceros. Además …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”