Teorema de Artin-Wedderburn

El teorema de Wedderburn-Artin establece que un anillo semisimple A es isomorfo a un producto de $k\;$ anillos de matrices de orden $n_i\;$ sobre anillos de división $C_i\;$ donde $k\;$, $n_i\;$ y $C_i\;$ están determinados de forma única salvo el orden $(i=1, 2, \dots, k)\;$. Como consecuencia se obtiene que cualquier anillo simple y artiniano por la izquierda (o por la derecha) es isomorfo a un anillo de matrices de orden n sobre un anillo de división.

El teorema de Wedderburn-Artin reduce el problema de clasificar anillos simples sobre un anillo de división a clasificar anillos de división que contienen un anillo de división dado. Y esto todavía puede simplificarse más: el centro de un anillo de división será un cuerpo K. Por lo tanto, A es una K-álgebra que tiene a K como centro. Así, un álgebra simple de dimensión finita es un álgebra simple central sobre K. Consecuentemente, el teorema de Wedderburn-Artin reduce el problema de clasificar las álgebras simples centrales de dimensión-finita al problema de clasificar anillos de división con un centro dado de antemano.

Ejemplos

Sea $\mathbb{R}$ el cuerpo de los números reales, $\mathbb{C}$ el de los números complejos, y $\mathbb{H}$ el anillo de división de los cuaterniones.

• Toda álgebra simple de dimensión finita sobre $\mathbb{R}$ es un anillo de matrices sobre $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ o $\mathbb{H}$.
• Toda álgebra simple de dimensión finita sobre $\mathbb{C}$ es un anillo de matrices sobre $\mathbb{C}$ y por tanto, cada álgebra central simple sobre $\mathbb{C}$ es un anillo de matrices sobre $\mathbb{C}$.
• Toda álgebra central simple de dimensión finita sobre un cuerpo finito es un anillo de matrices sobre ese cuerpo.

Véase también

• Teorema de Maschke