Teorema de Heine-Borel

Teorema de Heine-Borel

En el análisis matemático, el teorema de Heine-Borel (también llamado teorema de Borel-Lebesgue) es uno que establece condiciones para que un subconjunto de \mathbb{C}^n o de \mathbb{R}^n sea compacto. Cuando se refiere al caso particular de la recta real recibe el nombre de Teorema de Heine-Borel. En el resto de los casos, es frecuente llamarlo Teorema de Borel-Lebesgue.[cita requerida]

El teorema se enuncia de la siguiente manera:

Si un conjunto E\subset \mathbb{C}^n tiene algunas de las siguientes propiedades, entonces tiene las otras dos:

  1. E es cerrado y conexo.
  2. E es compacto.
  3. Todo subconjunto infinito de E tiene un punto de acumulación en la frontera de E.

Las distintas formulaciones del teorema se deben su nombre a los matemáticos Heinrich Heine, Émile Borel y Henri Lebesgue.

Contenido

Demostración

Teoremas preliminares

Los subconjuntos cerrados de conjuntos compactos son compactos

Sea F un conjunto cerrado y K un conjunto compacto tales que F\subset K\subset \mathbb{R}^n.

Sea {Ga} una cubierta abierta de F, entonces \{G_a\}\cup \{F^c\} es una cubierta abierta de K (podemos agregar Fc ya que es abierto). Como K es compacto entonces {Ga,Fc} tiene un refinamiento finito que también cubre a F. Podemos quitar a Fc y sigue cubriendo a F. Así obtenemos un refinamiento finito de cualquier cubierta abierta de F

Si E\subset K\subset \mathbb{R}^n, donde E es un conjunto infinito y K es compacto, entonces E tiene un punto de acumulación en K

Si E no tuviera puntos de acumulación en K entonces \forall a\in K \exists B_{\varepsilon}(a)= a donde Bε es una epsilon-vecindad y \varepsilon > 0. Es claro que el conjunto de estas vecindades forman una cubierta par E pero no tiene un refinamiento finito, lo mismo cumpliría para K que contradiría la definición de que K es compacto.

Toda k-celda es compacta

Sea I una k-celda que consiste de todos los puntos x = (x1,x2,...,xk) tal que a\leq x_j\leq b y j = 1,2,...,k. Sea \delta=(\sum (b_j - a_j)^2)^{1/2} entonces si x,y \in I | xy | < δ. Sea {Ga} una cubierta arbitraria de I\, y supongamos que I no se puede cubrir con una cantidad finita de Ga's.

Tomemos c_s=\frac{a_s+b_s}{2} entonces los intervalos [as,cs][cs,bs] determinan 2k celdas Qii = 1,2,...,2k. Entonces por lo menos un Qi no se puede cubrir con una cantidad finita de Ga's. Lo llamaremos I1 y así obtenemos una sucesión {In} tal que:

  1. I_1\supset I_2\supset I_3\supset ....
  2. In no se puede cubrir con una cantidad finita de Ga's.
  3. Si x,y \in I_n entonces | xy | < 2 nδ.
  4. {\cap}_n I_n \neq \emptyset

Digamos que h\in {\cap}_n I_n, como {\cup}_a G_a cubre a I entonces h\in G_b\subset {\cup}_a G_a. Como Gb es abierto \exists B_{\varepsilon} (h)\subset G_b. Si tomamos n suficientemente grande tal que 2 nδ < ε tenemos que este I_n\subset B_{\varepsilon} (h)\subset G_b lo cual contradice la suposición de que no se puede cubrir con una cantidad finita de Ga's.

Demostración del teorema de Heine-Borel

Si cumple 1) entonces E\subset I para alguna k-celda I, y 1) implicaría 2) por los teoremas 1 y 3 anteriores.

Si se cumple 2), entonces se cumple 3) por el teorema 2 anterior.

Ahora falta demostrar que si cumple 3), entonces cumple 1): Si E no es conexo entonces contiene un conjunto {xn} tal que | xn | > n entonces el subconjunto {xn} es finito y tiene un límite en \mathbb{R}^n, lo cual contradice 3). Si E no es abierto entonces existe un elemento x_0 \in \mathbb{R}^n que es un punto de acumulación de E pero no está en E. Para n = 1,2,... existen x_n \in E tales que | xnx0 | < 1 / n, entonces el conjunto {xn} es infinito y tiene límite contenido en él mismo, lo cual contradice 3).

Véase también


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