Teorema de Carathéodory-Jacobi-Lie

El teorema de Carathéodory-Jacobi-Lie es un teorema en la topología simpléctica que generaliza el teorema de Darboux.

El enunciado es el el que sigue. Sea M una variedad simpléctica de dimensión 2n con forma simpléctica ω. Sean

$f_1, f_2, \ldots, f_r (r \leq n)$

funciones diferenciables en un entorno abierto V de a cuyas diferenciales son linealmente independientes en cada punto, o equivalentemente

$df_1(p) \wedge \ldots \wedge df_r(p) \neq 0,$

donde

{f_i, f_j} = 0.

(En otras palabras, están en involución dos a dos.) Aquí {-,-} es el paréntesis de Poisson. Entonces existen funciones

$f_{r+1}, \ldots, f_n, g_1, \ldots, g_n$

definidas en un entorno abierto $U \subset V$ de a tales que

(f_i, g_i)

es una carta simpléctica de M, es decir, ω se expresa en U como

$\omega = \sum_{i=1}^{n} df_i \wedge dg_i$.