Teorema de Lucas

Para el teorema de análisis complejo, véase Teorema de Gauss-Lucas.

En teoría de números, el teorema de Lucas dice lo siguiente:

Sean m y n números enteros no negativos, p un número primo y sean $m=m_kp^k+m_{k-1}p^{k-1}+\cdots +m_1p+m_0,$ y $n=n_kp^k+n_{k-1}p^{k-1}+\cdots +n_1p+n_0$ los desarrollos de m y n, respectivamente, en base p. Entonces $\binom{m}{n}\equiv\prod_{i=0}^k\binom{m_i}{n_i}\pmod p,$ donde $\binom{m}{n}=\frac{m!}{n!(m-n)!}$ denota el coeficiente binomial de m sobre n. En particular, el coeficiente binomial $\binom{m}{n}$ es divisible por un número primo p tan pronto como al menos uno de los dígitos de n en base p es mayor que el dígito correspondiente de m Édouard Lucas, 1878.[1]

Referencias

1. ↑
   • Édouard Lucas (1878). «Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques». American Journal of Mathematics 1 (2):  pp. 184-196. doi:10.2307/2369308. http://www.jstor.org/stable/2369308.  (parte 1);
   • Édouard Lucas (1878). «Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques». American Journal of Mathematics 1 (3):  pp. 197-240. doi:10.2307/2369311. http://www.jstor.org/stable/2369311.  (parte 2);
   • Édouard Lucas (1878). «Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques». American Journal of Mathematics 1 (4):  pp. 289-321. doi:10.2307/2369373. http://www.jstor.org/stable/2369373.  (parte 3)

Enlaces externos

• Lucas's Theorem, PlanetMath (en inglés)
• Andrew Granville. The Arithmetic Properties of Binomial Coefficients ("Las propiedades aritméticas de los coeficientes binomiales", en inglés).