Teorema de Picard-Lindelöf

El teorema de Picard-Lindelöf (muchas veces llamado simplemente teorema de Picard, otras teorema de Cauchy-Lipschitz o teorema de existencia y unicidad) es un resultado matemático de gran importancia dentro del estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). Establece bajo qué condiciones puede asegurarse la existencia y unicidad de solución de una EDO dado un problema de Cauchy (problema de valor inicial).

Teorema

El teorema debe su nombre al matemático francés Charles Émile Picard y al topólogo finés Ernst Leonard Lindelöf.

Enunciado general

"Sea $f(t, x):\Omega\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^n$, donde Ω es abierto, una función continua y localmente Lipschitz respecto de x (interprétese f(t,x) como la forma estándar de una EDO n-dimensional de primer orden). Entonces, dado $(t_{0}, x_{0}) \in \Omega$, podemos encontrar un intervalo cerrado $I_{\alpha}=[t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha]\subset \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}$ donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy:

$\begin{cases}x'=f(t, x) \\ x(t_{0})=x_{0}\end{cases}$

que cumple que los pares $(t, x(t)) \in \Omega, \forall t \in I_{\alpha}.$"

De hecho, este α puede ser encontrado de manera explícita, en la demostración se dan detalles de ello.

Un enunciado más restrictivo

El resultado anterior exige los requisitos mínimos que debe cumplir una función si queremos aplicar el teorema. Añadiendo más condiciones al enunciado original, podemos dar este otro más sencillo: "Sea $f:[a, b] \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ una función Lipschitz. Entonces, dados $(t_0, x_0) \in [a, b] \times \mathbb{R}^n$" existe una única solución x(t) del problema de valor inicial

$\begin{cases}x'=f(t, x) \\ x(t_{0})=x_{0}\end{cases}$

definida $\forall t \in [a, b]$".

Observación

Es importante observar que el teorema de Picard sólo nos garantiza la existencia y unicidad local de la solución de una EDO. Es decir, más allá del intervalo proporcionado por el teorema (dado que su demostración es constructiva) no podemos decir nada, en principio, del comportamiento de la solución del problema de valor inicial. Es posible complementar el teorema señalando que existe un intervalo abierto, que llamaremos intervalo maximal en el cual puede garantizarse que la solución existe y es única; fuera de este intervalo, el teorema de Picard no puede aplicarse.

Demostración

Sea $C_{a,b}=\overline{I_a(t_0)}\times\overline{B_b(x_0)}$ el cilindro compacto donde f está definida, esto es $t\in\overline{I_a(t_0)}=[t_0-a,t_0+a]$ y $\overline{B_b(x_0)}=[x_0-b,x_0+b]$. Sea $M=\displaystyle\sup_{C_{a,b}}\| f \|$, és decir, el valor de máxima pendiente en módulo. Y finalmente sea L la constante de Lipschtitz de f respecto la segunda variable.

Definimos el siguiente operador entre funciones continuas, el operador de Picard, como sigue:

$\Gamma:\mathcal{C}(I_{\alpha}(t_0),B_b(x_0))\longrightarrow \mathcal{C}(I_{\alpha}(t_0),B_b(x_0))$ dinifido como: $\Gamma \varphi(t) = x_0 + \displaystyle\int_{t_0}^{t} f(s,\varphi(s))ds$.

Vamos a imponer que esté bien definido, es decir, que su imagen sea una función que tome valores en B_b(x₀), es decir, que la norma de Γφ(t) − x₀ sea menor que b.

$\|\Gamma\varphi(t)-x_0\| = \left\| \displaystyle\int_{t_0}^{t} f(s,\varphi(s))ds \right\| \leq \left | \displaystyle\int_{t_0}^{t} \|f(s,\varphi(s))\| ds \right | \leq M|t-t_0|\leq M\alpha\leq b$ El último paso es imposición, por lo que deberá ser que α < b / M.

Veamos ahora que el operador de Picard es contractivo bajo ciertas hipótesis sobre α que más adelante podrán ser omitidas.

Dadas dos funciones $\varphi_1,\varphi_2\in\mathcal{C}(I_{\alpha}(t_0),B_b(x_0))$ queremos:

$\|\Gamma\varphi_1 - \Gamma\varphi_2\| = \left \| \displaystyle\int_{t_0}^{t}(f(s,\varphi_1(s))-f(s,\varphi_2(s))ds)\right \| \leq \left | \displaystyle\int_{t_0}^{t}\| f(s,\varphi_1(s))-f(s,\varphi_2(s))\| ds \right |$. Pero como f es Lipschitz respecto la segunda variable tenemos que:

$L \left | \displaystyle\int_{t_0}^{t}\|\varphi_1(s)-\varphi_2(s)\| ds \right | \leq L\alpha\|\varphi_1-\varphi_2\|$.

Esto es contractivo si α < 1 / L o equivalentemente para tener igualdad si $\alpha\leq 1/(2L)$.

Por lo tanto como el operador de Picard es un operador entre espacios de Banach (en particular espacios métricos inducidos por la norma) y contractivo, por el teorema del punto fijo de Banach, existe una única función $\varphi\in \mathcal{C}(I_{\alpha}(t_0),B_b(x_0))$ tal que Γφ = φ es decir, solución del problema de valor inicial definida en Iα donde α debe satisfacer las condiciones dadas, es decir, α = min{a,b / M,1 / (2L)}.

Optimización del intervalo de la solución

Ahora bien, hay un corolario del teorema del punto fijo de Banach que nos dice que si un operador Tⁿ es contractivo para alguna potencia $n\in\mathbb{N}$ entonces T tiene un único punto fijo. Intentaremos aplicar este resultado al operador de Picard. Pero antes veamos un pequeño lema que nos será muy útil para aplicar el anterior corolario.

Lema: $\|\Gamma^m \varphi_1 - \Gamma^m\varphi_2\| \leq \frac{L^m\alpha^m}{m!}\|\varphi_1-\varphi_2\|$

Lo demostraremos por inducción:

Para m = 1 ya lo hemos visto, suponemos cierto para m − 1 y probemos para m:

$\|\Gamma^m \varphi_1 - \Gamma^m\varphi_2\| = \|\Gamma\Gamma^{m-1} \varphi_1 - \Gamma\Gamma^{m-1}\varphi_2 \| \leq \left | \displaystyle\int_{t_0}^{t}\| f(s,\Gamma^{m-1}\varphi_1(s))-f(s,\Gamma^{m-1}\varphi_2(s))\| ds \right | \leq L \left | \displaystyle\int_{t_0}^{t}\|\Gamma^{m-1}\varphi_1(s)-\Gamma^{m-1}\varphi_1(s)\| ds \right | \leq \frac{L^m\alpha^m}{m!}\|\varphi_1 - \varphi_2\|$.

Por lo tanto ahora sí, teniendo esta desigualdad podemos asegurar que para m suficientemente grande, la cantidad $\frac{L^m\alpha^m}{m!}<1$ y por lo tanto Γ^m será contractivo y por el corolario anterior Γ tendrá un único punto fijo. Por lo que, finalmente, hemos podido optimizar el intervalo a tomar α = min{a,b / M}.

Esto lo que nos dice es que el intervalo de definición de la solución no depende de la constante de Lipschitz del campo, sino esencialmente en el intervalo de definición del campo y la máxima pendiente del mismo.