Teorema de euler para ecuaciones homogéneas de grado

Teorema de euler para ecuaciones homogéneas de grado

Teorema de euler para ecuaciones homogéneas de grado

Teorema de Euler para ecuaciones homogéneas de grado, es un teorema que hace mención a cierta propiedad de igualdad matemática que cumplen las denominadas funciones homogéneas de grado.

Contenido

Enunciado del teorema

Si una función  f=f(x,y,z) \, es una función homogénea de grado n podemos afirmar que: x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z  \frac{\partial f}{\partial z}=nf , es decir, de manera más simplificada :  \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)=nf

Definición de función homogénea de grado / ecuación homogénea de grado

Una función  f=f(x,y,z) \, se dice función homogénea de grado n  \Longleftrightarrow para un valor arbitrario  \lambda \, ,   f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\lambda^n f(x,y,z) \,


Demostración

La demostración directa consiste en partir de la definición admitida de función homogénea y derivar ambos términos con respecto a  \lambda \, . Es decir, la demostración es una consecución de los siguientes pasos:

  1. Es una función homogénea, esto implica que  f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\lambda^n f(x,y,z) \,
  2.  d[f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)]=\frac{\partial f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)}{\partial (\lambda x)}d(\lambda x) + \frac{\partial f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)}{\partial (\lambda y)}d(\lambda y)+ \frac{\partial f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)}{\partial (\lambda z)}d(\lambda z)
  3.  \frac{d[f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)]}{d \lambda}=\frac{\partial f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)}{\partial (\lambda x)}\frac{d(\lambda x)}{d\lambda} + \frac{\partial f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)}{\partial (\lambda y)}\frac{d(\lambda y)}{d\lambda} + \frac{\partial f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)}{\partial (\lambda z)}\frac{d(\lambda z)}{d\lambda} = \frac{\partial f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)}{\partial (\lambda x)}x + \frac{\partial f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)}{\partial (\lambda y)}y + \frac{\partial f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)}{\partial (\lambda z)}z
  4. Por otro lado \frac{d[\lambda^n f(x,y,z)]}{d\lambda}=n\lambda^{n-1}f(x,y,z)

Es decir: \frac{\partial f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)}{\partial (\lambda x)}x + \frac{\partial f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)}{\partial (\lambda y)}y + \frac{\partial f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)}{\partial (\lambda z)}z =n\lambda^{n-1}f(x,y,z)

Puesto que lamba es un valor arbitrario podemos afirmar que con λ = 1 lo expuesto queda como x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z  \frac{\partial f}{\partial z}=nf que es el teorema de Euler.


Aplicaciones del teorema

Aplicaciones en Física: Termodinámica

Si la función de estado termodinámica es:

  • Homogénea de grado 1: función de variables extensivas :  \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)=f
  • Homogénea de grado 0: función de variables intensivas :  \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)=0

Bibliografía

  • Curso de Termodinámica José Aguilar Peris
  • Apuntes de la asignatura Fundamentos de termodinámica Grado de Física, Universidad de Santiago de Compostela, España
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