Teorema de la función implícita

En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de varias variables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás.

Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x).

Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de $\mathbb{R}^2$ entre las variables x e y:

$y^3 + y^2 + 5xy + x^2 + x + y = 0 \,$

Es decir, el teorema establece que existe una función y = f(x) que substituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.

Ejemplos

La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita $x^2 + y^2 -1=0 \,$. Alrededor del punto A, podremos expresar y como una función $y(x)=\sqrt{1-x^2}$. Pero no existirá una función similar en un entorno del punto B.

Antes de enunciar el teorema, considere la función f(x,y) = 0 que definiremos:

$f: A \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$

$(x,y) \mapsto x^2 + y^2$

La función admite como preimagenes todos los vectores (x,y) que resuelven la ecuación $x_0^2 + y_0^2 = 0$. Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos no globalmente pero si en una vecindad de (x₀,y₀).

Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:

$\begin{cases} xz^3 + y^2u^3 = 1\\ 2xy^3+u^2z = 0 \end{cases}$

Puede verse que si para valores de (z, u) cercanos al punto (0, 1) existen dos funciones $\scriptstyle x=f_1(z,u),\ y=f_2(z,u)$ tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto se cumple automáticamente que:

$\begin{cases} f_1(z,u)z^3 + f_2^2(z,u)u^3 = 1\\ 2f_1(z,u)f_2^3(z,u)+u^2z = 0 \end{cases}$

Enunciado general

El enunciado general es como sigue:

Teorema (de la Función Implícita)

Sean $\scriptstyle f: A \subseteq \mathbb{R}^{m+n} \rightarrow \mathbb{R}^n$ una función continua y diferenciable y $\scriptstyle (a,b) \in \mathbb{R}^{m+n}$ cualquier vector tal que $\scriptstyle f(a,b)=0$ . Considere $\scriptstyle (x,y)\in \mathbb{R}^{m+n}$ y defina la matriz jacobiana $\scriptstyle DF(a,b)=[D_x f(a,b),D_y f(a,b)]$ y sobre esta considere que la submatriz que define $\scriptstyle [D_y f(a,b)]$ es invertible. Entonces existen los abiertos $\scriptstyle V\subseteq \mathbb{R}^{m+n}$ y $\scriptstyle W\subseteq \mathbb{R}^m$ con $\scriptstyle (a,b)\in V$ y $\scriptstyle a\in W$ tales que para cada $\scriptstyle x\in W$ existe un único $\scriptstyle y$ tal que $\scriptstyle (x,y)\in V$ y $\scriptstyle f(x,y)=0$ lo que define una función $\scriptstyle g:W\rightarrow \mathbb{R}^n$ que es continua y diferenciable y que además satisface

$f(x,g(x))=0,\quad \forall x\in W$

además

$Dg(x)=-\frac{D_x f(x,g(x))}{D_y f(x,g(x))} \quad x\in W$

donde $\scriptstyle g(a)=b$.

La demostración del teorema se puede encontrar en diversos libros de cálculo, en particular el final del artículo se presenta un enlace a una demostración con detalles. Las versiones del teorema en dos dimensiones resultan útiles para fijar ideas antes de extenderse al caso de "n" dimensiones.

Diferenciación de funciones dadas de forma implícita

Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:

Dada una función $F(x,y) \,$, implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: $\frac{dy}{dx} = f'(x)$.

Si consideramos $y = f \left ( x \right )$ es una función en términos de la variable independiente x y $G \left ( y \right )$ es una función en términos de la variable dependiente y, dado que $y = f \left ( x \right )$, entonces para obtener la derivada:

$D_x \left( G \left( y \right) \right) = D_x \left( G \left( f \left( x \right) \right) \right) = G' \left( f \left( x \right) \right) \left( f' \left( x \right) \right)$

Aplicación práctica

Obtener la derivada de:

$6x^2y + 5y^3 + 3x^2 = 12 - x^2y^2 \,$

El término 6x²y Se puede considerar que son dos funciones, 6x² y y por lo que se derivara como un producto:

$D_x \left ( 6x^2y \right ) = \left ( 12x \right ) \cdot y + \left ( 6x^2 \right ) \cdot \left ( \frac{dy}{dx} \right )$

El término 5y³ se deriva como:

$D_x \left ( 5y^3 \right ) = 15y^2 \cdot \frac {dy}{dx}$

El término 3x² se deriva de forma normal como:

$D_x \left ( 3x^2 \right ) = 6x \,$

El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.

$D_x \left ( 12 \right ) = 0 \,$

Para el término x²y² se puede considerar como un producto y se deriva como:

$D_x \left ( x^2y^2 \right ) =2xy^2 + x^2 \cdot \left ( 2y \cdot \frac {dy}{dx} \right )$

Al unir todos los términos se obtiene:

$12xy + 6x^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 15y^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 6x = - 2xy^2 -2x^2y \cdot \frac{dy}{dx}$

Ordenando

$6x^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 15y^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 2x^2y \cdot \frac{dy}{dx}= -12xy - 6x- 2xy^2$

Factorizando respecto a ( $\frac {dy}{dx}$ ) los valores son:

$\left ( 6x^2 + 15y^2 + 2x^2y \right ) \cdot \frac{dy}{dx} = - \left ( 12xy + 6x + 2xy^2 \right )$

Finalmente despejando $\frac {dy}{dx}$ se obtiene la derivada de la función implícita:

$\frac{dy}{dx} = - \frac { 12xy + 6x + 2xy^2 } { 6x^2 + 15y^2 + 2x^2y }$

Véase también

• Teorema de la función inversa

Referencias

• Alejandro Jofré, Patricio Felmer, Paul Bosch, Matías Bulnes, Arturo Prat, Luis Rademacher, José Zamora, y Mauricio Vargas. "Cálculo en Varias Variables - Apunte Completo" (2011). Disponible en: http://works.bepress.com/mvargas/1

Bibliografía

Para una colección de ejemplos:

• Bombal, Marin & Vera: Problemas de Análisis matemático: Cálculo Diferencial, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6.