Teorema de la tangente

Fig. 1 - Un triángulo.

En trigonometría, el teorema de la tangente es una fórmula que relaciona las longitudes de los tres lados de un triángulo y las tangentes de sus ángulos.

En la Figura 1, a, b, y c son las longitudes de los tres lados del triángulo, y α, β, y γ son los ángulos opuestos a estos tres lados respectivamente. El teorema de la tangente establece que:

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}.$

Aunque el teorema de la tangente no es tan conocido como el teorema del seno o el teorema del coseno, es exactamente igual de útil, y se puede utilizar en cualquiera de los casos donde se conocen dos lados y un ángulo o cuando se conocen dos ángulos y un lado.

Demostración

Para demostrar el teorema de la tangente se puede empezar con el teorema del seno:

$\frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}}.$

Llamando "q" al resultado de este cociente, se obtiene que: $\scriptstyle{a\,=\,q\sin\alpha}$, $\scriptstyle{b\,=\,q\sin\beta}$, por tanto

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{q \sin \alpha -q\sin\beta}{q\sin\alpha+q\sin\beta} = \frac{ \sin \alpha -\sin\beta}{\sin\alpha+\sin\beta}.$

Utilizando la fórmula de Simpson:

$\sin(x) + \sin(y) = 2 \sin\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right) \;$

con $\scriptstyle{x\,=\,\alpha}$ y $\scriptstyle{y\,=\,\pm\beta}$ se obtiene

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{ 2 \sin\left( \frac{\alpha -\beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha+\beta}{2}\right) }{ 2 \sin\left( \frac{\alpha +\beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha-\beta}{2}\right)} = {{\tan{\alpha - \beta \over 2}} \over {\tan{\alpha + \beta \over 2}}}.$