Teorema de los números primos


Teorema de los números primos

En teoría de números el teorema de los números primos es un resultado sobre la distribución asintótica de los números primos.

Contenido

Enunciado del teorema

Gráfico comparativo de π(x) (rojo), x / ln x (verde) y Li(x) (azul).

Sea \pi(x)\, el número de primos que son menores o iguales que x\,. El teorema establece que:

\pi(x) \sim \frac{x}{\ln(x)}, donde ln (x) es el logaritmo neperiano de x.

Esta expresión no implica que la diferencia de las dos partes de la misma para valores de x muy grandes sea cero; sólo implica que el cociente de éstas para valores de x\, muy grandes es casi igual a 1.

Una mejor aproximación viene dada por el logaritmo integral:

\pi(x) \approx \operatorname{Li} (x) , donde Li (x) es el logaritmo integral de x.

Historia

El teorema de los números primos fue conjeturado por Adrien-Marie Legendre en 1798 y la conjetura fue posteriormente refinada por Gauss con la expresión que actualmente se asocia más frecuentemente al teorema. La demostración formal del teorema la hicieron de forma independiente tanto Jacques Hadamard como Charles-Jean de la Vallée Poussin en el año 1896. Ambas demostraciones se basaban en el resultado de que la función zeta de Riemann \zeta(z)\, no tiene ceros de la forma 1 + it con t > 0. En realidad la demostración se hizo sobre una expresión algo más estricta de lo que se indica en la definición anterior del teorema, siendo la expresión demostrada por Hadamard y Poussin la siguiente:

\pi(x)\approx\mbox{Li}(x)

donde

\mbox{Li}(x)=\int_{2}^{x}\frac{dy}{\ln(y)}.

Desde 1896 la expresión asociada al teorema de los números primos ha sido mejorada sucesivamente, siendo la mejor aproximación actual la dada por:

\pi(x)=\mbox{Li}(x)+O\left(x\exp\left(-\frac{A(\ln x)^{3/5}}{(\ln\ln x)^{1/5}}\right)\right)

donde O(f(x))\, se define como la función asintótica a f(x)\, y A\, es una constante indeterminada.

Para valores de x\, pequeños se había demostrado que \pi(x)<\mbox{Li}(x)\,, lo que llevó a conjeturar a varios matemáticos en la época de Gauss que \mbox{Li}(x)\, era una cota superior estricta de \pi(x)\, (esto es que la ecuación \pi(x) - \mbox{Li}(x) = 0\, no tiene soluciones reales). No obstante, en 1912 J. E. Littlewood demostró que dicha cota es cruzada para valores de x\, suficientemente grandes. El primero de ellos se conoce como primer número de Skewes, y actualmente se sabe que es inferior a \scriptstyle 10^{317}\,, aunque se piensa que puede ser inferior incluso a \scriptstyle 10^{176}\,. En 1914 Littlewood amplió su demostración con la inclusión de múltiples soluciones a la ecuación \pi(x) - \mbox{Li}(x) = 0\,. Muchos de estos valores y hallazgos están asociados a la validez de la hipótesis de Riemann.

Relación con la hipótesis de Riemann

Dada la conexión que hay entre la función zeta de Riemann ζ(s) y π(x), la hipótesis de Riemann es muy importante en teoría de números, y por supuesto, en el teorema de los números primos.

Si la hipótesis de Riemann se cumple, entonces el término error que aparece en el teorema de los números primos puede acotarse de la mejor manera posible. Concretamente, Helge von Koch demostró en 1901 que

 \pi(x) = {\rm Li} (x) + O\left(\sqrt x \ln x\right).

si y sólo si la hipótesis de Riemann se cumple. Una variante refinada del resultado de Koch, dada por Lowel Schoenfeld en 1976, afirma que la hipótesis de Riemann es equivalente al siguiente resultado:

|\pi(x) - \operatorname{Li}(x)| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \ln(x), \qquad \text{para todo } x \ge 2657.

Aproximaciones para el enésimo número primo

Como consecuencia del teorema de los números primos, se obtiene una expresión asintótica para el enésimo número primo, denotado por pn:

p_n \approx n \ln n.

Una aproximación mejor es:

 p_n = n \ln n + n \ln \ln n + \frac{n}{\ln n} \big( \ln \ln n - \ln n- 2 \big) 
+ O\left( \frac {n (\ln \ln n)^2} {(\ln n)^2}\right).[1]

Referencias

  1. Michele Cipolla (1902). «La determinazione assintotica dell'nimo numero primo». Matematiche Napoli 3:  pp. 132-166. 

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.

Mira otros diccionarios:

  • Teorema de los números primos — El teorema de los números primos describe una forma asintótica de la función que cuenta el número de primos menores que un dado. Teorema:Sea el número de primos que son menores o iguales que donde es el logaritmo neperiano de . Esta expresión no… …   Enciclopedia Universal

  • Fórmula de los números primos — En matemáticas, la fórmula de los números primos es una fórmula que genera los números primos, exactamente y sin excepción alguna. Otro gran acuerdo a esto es qué se considera como una fórmula y que no. No existe ninguna fórmula polinómica para… …   Wikipedia Español

  • Serie de los inversos de los números primos — En el siglo III a. C., Euclides demostró la existencia de infinitos números primos. En el siglo XVIII, Leonhard Euler demostró un resultado aún más profundo: La suma de los recíprocos de todos los números primos diverge. Leonhard Euler… …   Wikipedia Español

  • Conjetura de los números primos gemelos — Dos números primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro más dos unidades. Así pues, los números primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos. Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 ó 29 y 31. Conforme se van… …   Wikipedia Español

  • Números primos gemelos — En matemáticas, y más concretamente en teoría de números, dos números primos (p, q) son números primos gemelos si están separados por una distancia de 2, es decir, si . Todos los números primos, excepto el 2, son impares. Los únicos dos números… …   Wikipedia Español

  • Números primos entre sí — En matemáticas, dos números enteros a y b son números primos entre sí (o coprimos, o primos relativos), si, por definición, no tienen ningún factor primo en común, o, dicho de otra manera, si no tienen otro divisor común más que 1 y 1.… …   Wikipedia Español

  • Función contador de números primos — Los 60 primeros valores de π(n). En matemática, la función contador de números primos es una función que cuenta el número de números primos menores o iguales a cierto número real x. Se denota mediante (no debe confundirse con el número π) y… …   Wikipedia Español

  • Teorema de Bombieri-Vinográdov — En matemáticas, el teorema de Bombieri–Vinográdov (a veces llamado simplemente teorema de Bombieri)[1] es un resultado importante en teoría multiplicativa de números,[2] una rama de la teoría analítica de números, obtenido a mediados de los años… …   Wikipedia Español

  • Números compuestos — Saltar a navegación, búsqueda Todo número natural no primo, a excepción del 1, se denomina compuesto, es decir, tiene uno o más divisores distintos a 1 y a sí mismo. Los 20 primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20,… …   Wikipedia Español

  • Teorema fundamental de la aritmética — En matemática, y particularmente en la teoría de números, el teorema fundamental de la Aritmética o teorema de factorización única afirma que todo entero positivo se puede representar de forma única como producto de factores primos. Por ejemplo,… …   Wikipedia Español