Teorema del transporte de Reynolds

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El teorema de transporte de Reynolds relaciona, la derivada Lagrangiana de una integral de volumen de un sistema, con una integral en derivadas Eulerianas. En otras palabras, este teorema relaciona la tasa de cambio en el tiempo de una propiedad extensiva Η con la generación y el flujo de la propiedad intensiva correspondiente η, una y otra relacionadas por la ecuación:

$\Eta=\left( \int_V \rho \eta dV \right)$

La expresión general de este teorema es:

$\frac{D \Eta}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}\left( \int_V \rho \eta dV \right) + \int_{s} \vec{U} \rho \eta \hat{n} dS$

Demostración

Consideremos un sistema en dos instantes de tiempo t y t+δt. Sea α alguna propiedad por unidad de volumen. El sistema puede tener un cambio de volumen y posición como se muestra en la figura:

La cantidad total de la propiedad α en el sistema en el instante t es:

$\int\limits_{V(t)} \alpha (t) dV$

Y la cantidad de α en el instante t+ δt es:

$\int\limits_{V(t + \delta t)} \alpha (t+\delta t) dV$

La derivada material de la cantidad total de α en el sistema se puede expresar:

$\frac{D}{Dt} \int\limits_{V(t)} \alpha (t)dV = \lim_{\delta t \to 0} \frac{1}{\delta t} \left\lbrace \int\limits_{V(t+\delta t)} \alpha (t+\delta t)dV - \int\limits_{V(t)} \alpha (t)dV \right\rbrace$

Que se obtiene de la definición de derivada:

$\frac{D}{Dt} \int\limits_{V(t)} \alpha(t)dV = \lim_{\delta t \to 0} \left\{ \frac{1}{\delta t} \left\lbrack \int\limits_{V(t+\delta t)} \alpha (t+\delta t)\delta V - \int\limits_{V(t)} \alpha(t+\delta t)dV \right\rbrack + \frac{1}{\delta t} \left\lbrack \int\limits_{V(t)} \alpha (t+\delta t)dV - \int\limits_{V(t)} \alpha (t) dV \right\rbrack \right\}$

En esta ecuación:

$\lim_{\delta t \to 0} \frac{1}{\delta t} \left\lbrace \int\limits_{V(t+\delta t)} \alpha (t+\delta t)dV - \int\limits_{V(t)} \alpha (t+\delta t)dV \right\rbrace$

Representa el integrando fijo con cambio de volumen como se muestra en la figura:

Y estas dos integrales se pueden reducir a:

$\lim_{\delta t \to 0} \frac{1}{\delta t} \int\limits_{V(t+\delta t)-V(t)} \alpha (t+\delta t)dV$

Si consideramos que un elemento dS de la superficie del sistema tiene dos posiciones diferentes en los dos instantes de tiempo considerados t y t+ δt, el barrido de ésta superficie entre los dos instantes conforma el elemento de volumen dV como se muestra en la figura:

Si $\widehat{n}$ es el vector normal a la superficie y $\underset{\sim}{U}$ representa la velocidad, $\underset{\sim}{U}. \hat{n}$ será la velocidad normal a la superficie. En el tiempo la superficie se mueve una distancia $\underset{\sim}{U}. \hat{n}$ normal a la misma. Por lo que:

$dV = \underset{\sim}{U} \cdot \hat{n} \ \delta tds$

La integral se reduce a la integral sobre la superficie:

$\lim_{\delta t\to 0}\int\limits_{S(t)}\alpha(t+\delta t)U\cdot\hat{n}dS$

Tomando el límite se simplifica a:

$\int\limits_{S(t)}\alpha(t)\underset{\sim}{U} \cdot \hat{n} dV$

Aplicando el teorema de Gauss esta integral toma la forma:

$\int\limits_{V(t)}\nabla\cdot(\alpha\underset{\sim}{U})dV$

Dos términos de la ecuación pueden simplificarse como:

$\lim_{\delta t\to 0}\frac{1}{\delta t}\left[\int\limits_{V(t)}\alpha(t+\delta t)dV-\int\limits_{V(t)}\alpha(t)dV\right]= \int\limits_{V(t)}\lim_{\delta t\to 0}\frac{1}{\delta t}\left[\alpha(t+\delta t)-\alpha(t)\right]dV= \int\limits_{V(t)}\frac{\partial\alpha}{\partial t}dV$

Con estas simplificaciones toma la forma:

$\frac{D}{Dt} \int\limits_{V(t)} \alpha (t)dV = \int\limits_{V(t)} \left[ \frac{\partial\alpha}{\partial t}+\nabla\cdot(\alpha \vec{U}) \right]dV$

En notación indical:

$\frac{D}{Dt} \int\limits_{V(t)} \alpha (t)dV = \int\limits_{V(t)} \left[ \frac{\partial\alpha}{\partial t}+ \frac{\partial(\alpha u_i)}{\partial x_i} \right]dV$

El lema de Reynolds

El Lema de Reynolds introducido por el ingeniero irlandés Osborne Reynolds que demuestra que la variación de flujo de una propiedad es igual a la variación de la propiedad dentro del flujo:

$\frac{d}{dt}\int_{V_f(t)}\rho\Psi\; d\ V =\int_{V_f(t)}\rho\frac{d\psi}{dt}\ \; d\ V$

Demostración

Sea A una cierta propiedad genérica (escalar, vectorial o tensorial) de un medio continuo, y sea ψ(x, t ) la cantidad de esta propiedad A por unidad de masa. Por consiguiente, ρψ(x,t) es la cantidad de la propiedad por unidad de volumen.

Consideremos un volumen material arbitrario de medio continuo que en el instante t ocupa en el espacio un volumen V. La cantidad de la propiedad genérica A en el volumen material V en el instante t será:

$\ Q(t) =\int_{V_f(t)}\rho\Psi\; d\ V$

Donde ψ es la propiedad a estudiar

La variación a lo largo del tiempo del contenido de la propiedad A en el volumen material V vendrá dada por la derivada temporal de Q(t) , que utilizando la expresión de la derivada material de una integral de volumen será:

$\ Q'(t) =\frac{d}{dt}\int_{V_f(t)}\rho\Psi\; d\ V =\int_{V_f(t)} [\frac{d\rho\psi}{dt}\ +\rho\psi\nabla\cdot\ v ]\; d\ V$

Utilizando la expresión para la derivada material de un producto de funciones, agrupando términos y utilizando la ecuación de continuidad:

$\frac{d}{dt}\int_{V_f(t)}\rho\Psi\; d\ V =\int_{V_f(t)} [\rho\frac{d\psi}{dt}\ + \psi\frac{d\rho}{dt} +\rho\psi\nabla\cdot\ v ]\; d\ V$

$=\int_{V_f(t)} [\rho\frac{d\psi}{dt}\ + \psi [\frac{d\rho}{dt} +\rho\nabla\cdot\ v]] \; d\ V$

Como $\frac{d\rho}{dt} +\rho\nabla\cdot\ v = 0$ por continuidad, se llega a la conclusión de que:

$\frac{d}{dt}\int_{V_f(t)}\rho\Psi\; d\ V =\int_{V_f(t)}\rho\frac{d\psi}{dt}\ \; d\ V$

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