Teorema integral de Cauchy


Teorema integral de Cauchy

El Teorema integral de Cauchy, descubierto por Augustin Louis Cauchy en 1825, es parte fundamental del cálculo integral de variable compleja.

Contenido

Enunciado

Si f(z) es analítica en un dominio simplemente conexo D y su derivada es continua en D entonces para cualquier contorno cerrado simple contenido en D se tiene:

\oint_C f(z)dz=0\,

Extensión

Posteriormente, Edouard Goursat demostró que no era necesario considerar la hipótesis de que la derivada de f fuera continua para asegurar que el valor de la integral sea cero. De esta manera:

  • El teorema sigue siendo válido cuando el contorno C no es simple pero se corta un número finito de veces.
  • Sea C un contorno simple cerrado, y sean Cj (j=1, 2, ..., n) un número finito de contornos simples cerrados dentro de C, tales que las regiones interiores a cada Cj no tengan puntos en común. Sea R la región cerrada formada por todos los puntos dentro de C, salvo los puntos interiores a cada Cj. Denotamos por F toda la frontera orientada de R formada por C y todos los contornos Cj, recorridos en un sentido tal que los puntos interiores de R queden a la izquierda de F. Entonces, si f es analítica en todo R,

\oint_F f(z)dz=0 \,

A raíz de este trabajo, actualmente el teorema es conocido como teorema integral de Cauchy-Goursat.

Consecuencias

A partir del teorema de Cauchy-Goursat, se pueden demostrar proposiciones como la siguiente:

Sea ƒ(z) analítica sobre C, siendo C un contorno cerrado simple, y en el interior de C. Si se toma un punto interior "z0" de C, se cumple que:

 \oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi i f(z_0)

que corresponde a la fórmula integral de Cauchy.

Véase también

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