Teoría informal de conjuntos

La Teoría Informal de Conjuntos es una de las diversas teorías que se han sido desarrolladas en torno al debate de los fundamentos de matemáticas.

Los conjuntos tienen una importancia fundamental en matemáticas; de hecho, de manera formal, la mecánica interna de las matemáticas (números, relaciones, funciones, etc.) puede definirse en términos de conjuntos.

Requisitos

La teoría informal de conjuntos es una teoría “no formalizada”, es decir que emplea el lenguaje cotidiano para hablar de conjuntos. Por lo que, los conectores « y »; « o »; « no »; « si..., entonces »; « si y sólo si », no están sujetos a rigurosas definiciones.

En sus primeros tiempos, la teoría de conjuntos era informal y fue desarrollada a fines del siglo XIX, principalmente por Georg Cantor y Gottlob Frege, con el fin de permitir a los matemáticos trabajar con conjuntos infinitos coherentes.

Sin embargo, esta primigenia teoría permitía definir un conjunto a partir de cualquier propiedad sin ninguna restricción, lo que llevó a antinomias, o paradojas lógicas, como la paradoja de Russell, o semánticas, como la paradoja de Berry. Como solución a este conflicto se elaboró la teoría axiomática de conjuntos, cuyo propósito era determinar con precisión qué definiciones de conjuntos podían ser empleadas. Actualmente, se conoce a la teoría axiomática de conjuntos simplemente como teoría de conjuntos.

Conjuntos, pertenencia e igualdad

En la teoría informal de conjuntos, un conjunto es descrito como una colección de objetos bien definida. Dichos objetos son llamados elementos o miembros del conjunto y pueden ser de cualquier naturaleza: números, personas, otros conjuntos, etc. Por ejemplo, el 4 es un elemento del conjunto de todos los números enteros. Obviamente, el conjunto de todos los números es infinitamente grande; sin embargo, no es necesario que un conjunto sea precisamente finito para que pueda ser definido con precisión.

Si x es elemento de A, entonces se dice que x pertenece a A, o que x está en A. En este caso, esta proposición se escribe o representa formalmente así: x ∈ A.^[1] Mientras que usar el símbolo ∉ de esta manera: x ∉ A, quiere decir que x no pertenece a A.

Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos o, en otras palabras, lo son solo si cada uno de los elementos de A es a la vez elemento de B y si cada elemento de B también pertenece o está incluido en A.^[2] Por ejemplo, el conjunto cuyos elementos son 2, 3 y 5 es igual al conjunto de todos los números primos menores de 6. Y si los conjuntos A y B son iguales, esto se representa comúnmente como A = B.

Los elementos de un conjunto determinan a éste en su totalidad y esto también es válido para un conjunto vacío, que es aquel que no tiene ningún elemento, el cual se representa a menudo así "Ø" y otras veces así "{ }". Por lo que partiendo del hecho de que incluso un conjunto vacío está completemente determinado por sus elementos, se concluye que sólo puede haber un conjunto vacío.^{[3] [4]}

Notas

1. ↑ El símbolo de pertenencia "∈" fue introducido en 1888 por Peano, inspirado en la grafía de la letra griega épsilon, "ε".
2. ↑ Véase axioma de la extencionalidad
3. ↑ Véase axioma del conjunto vacío.
4. ↑ Recuerde que: Ø ≠ {0} ≠ {Ø}.