Teselación

Teselación

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Una teselación vista en el pavimento de una Calle

Teselación Hexagonal de un Piso

Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos:

1. que no queden huecos
2. que no se superpongan las figuras

Las teselaciones se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial.

Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios.

Antecedentes históricos

• Algunos mosaicos sumerios con varios miles de años de antigüedad contienen regularidades geométricas.
• Arquímedes en el siglo III a. de C. hizo un estudio acerca de los polígonos regulares que pueden cubrir el plano.
• Johannes Kepler, astrónomo alemán, estudió los polígonos regulares que pueden cubrir el plano, en su obra “Harmonice mundi” de 1619. Además realizó estudios en tres dimensiones de los llamados sólidos platónicos.
• Entre 1869 y 1891, el matemático Camille Jordan y el cristalógrafo Evgenii Konstantinovitch Fiodorov estudiaron completamente las simetrías del plano, iniciando así el estudio sistemático y profundo de las llamadas teselaciones.
• Un personaje clave en este tema es el artista holandés M. C. Escher (1898-1972) quien, por sugerencia de su amigo el matemático H. S. M. Coxeter, aprendió las teselaciones hiperbólicas, lo que motivó su interés por el palacio de La Alhambra en Granada. Legó un sinnúmero de bellas, curiosas y misteriosas obras de arte.

ángulos que concurren a un vértice

Conceptos previos

• En una teselación plana la suma de todos los ángulos que concurren a un vértice es 360º.

$\angle \alpha + \angle \beta+ \angle \gamma + \angle \delta + \angle \epsilon + \angle \lambda = 360^o$

• Un polígono es regular si tiene todos sus lados y ángulos iguales.
• Un polígono es convexo si todas sus diagonales están en el interior del polígono.
• Un polígono es cóncavo si no es cnvexo

Teselaciones regulares

Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono.

Como la unión en cada vértice debe sumar 360º para que no queden espacios, los únicos polígonos regulares que suman 360 al unirlos por sus ángulos, interiores son estos tres.

Triángulos equilateros

Cuadrados

Hexágonos

Teselaciones semi-regulares.

Son aquellas que contienen 2 o más polígonos regulares en su formación. Una teselación semi-regular tiene las siguientes propiedades:

1. Esta formada sólo por polígonos regulares.
2. El arreglo de polígonos es idéntico en cada vértice.
3. Existen sólo 8 teselaciones semi-regulares

8 8 4	3 3 3 4 4	3 3 4 3 4	3 3 3 3 6
3 12 12	3 4 4 6	3 6 3 6	4 6 12

Teselaciones con figuras semi-regulares

8 8 4	3 3 4 3 4	3 3 3 3 6	3 12 12
3 4 4 6	3 6 3 6	4 6 12

Teselaciones no regulares

Son aquellas formadas por polígonos no regulares

Cuadriláteros

Cualquier paralelogramo tesela, ya que solo debemos prolongar sus lados paralelos y construir los nuevos paralelogramos congruentes al primero.

Con cualquier cuadrilátero, ya sea cóncavo o convexo, es posible cubrir una superficie plana. En el caso Cóncavo es fácil de demostrar por el Teorema de Varignon, que los puntos medios de todo cuadrilátero forman un paralelogramo y luego Tesela. Este método se llama Método de la Malla Invisible

Triángulos

Con un triángulo escaleno es posible cubrir todo el plano. Esto se verifica formando el paralelogramo correspondiente.

Hexágonos

Teselación de El Cairo

Teselación de El Cairo

Esta teselación aparece frecuentemente en las calles de El Cairo, Egipto y en el arte islámico, de ahí su nombre.

El pentágono posee sus 5 lados de la misma medida. Tiene dos ángulos rectos, un ángulo de aproximadamente 131,5° y dos ángulos de 114,25°.Como para todo pentágono, la suma de sus ángulos es de 540°.

Polígonos Cóncavos

Flecha derecha

Cruz griega

Angulo himterk

Chevron de laynon

los pligonos concavos son los que sus angulos interiores miden mas de 180 grados

Construcción de teselas

Método quita y pon

Consiste en dibujar una figura geométrica que por si sola tesele el plano, como un paralelogramo o un triángulo. Luego, se le van sacando partes de un lado, para luego ponerlas en el lado contrario. Luego se repite esta imagen n veces y se van colocando de modo que encajen perfectamente, utlizando las transformaciones isométricas (traslación, rotación y simetría). Escher se hizo famoso por sus cuadros de teselaciones construidos con este método.

Teselaciones e isometría

A partir de los movimientos o transformaciones en el plano se pueden lograr diversos diseños.

Véase también

• Maurits Cornelis Escher
• Polígonos de Thiessen
• Teselación de El Cairo
• Teselación de Penrose
• Transformaciones isométricas

Enlaces externos

• Sitio Oficial de Escher
• 14 Pentágonos que teselan el plano
• Video Teselaciones

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