Topología cociente

Topología cociente
Ilustración de un espacio cociente, S2, obtenida por pegado del contorno (en azul) del disco D2 a un solo punto.

En matemáticas siempre se busca generar nuevos objetos a partir de los ya existentes. La topología no es la excepción.

Cuando se tiene un espacio topológico cualquiera y se quiere "pegar" algunos de sus puntos y hacer un nuevo espacio topológico, surge la pregunta: ¿Cómo tengo que definir mi conjunto y mi topología para que coincida con la idea de "pegar"? La respuesta fue la topología cociente, que definiremos a continuación.

Contenido

Definición

Sea (X, t) un espacio topológico, Y un conjunto arbitrario y f:X->Y una función sobreyectiva. Se define t_f=\{A \subset Y:f^{-1} (A)\in t\} a (Y,tf) le llamaremos la topología inducida por (X, t) y f

Ahora si tomamos Y como una partición de X con y f:X->Y como la función proyección natural; ie. f(x)=[x] donde [x] es el único elemento de Y tal que x \in [x]. (Y,tf) se llama la topología cociente de X bajo la partición Y.

Esta definición coincide con la que sigue: Sea (X, t) un espacio topológico, y Y una partición de X entonces el espacio topológico (Y, tf) donde tf={A \subset Y: \bigcup A \in t} coincide con la topología definida anteriormente

Propiedades

  • La función f es continua y esta topología es la mas fina topología que hace esto
  • La propiedad universal: La topología cociente es la única topología que cumple que para cualquier espacio topológico (Z, t) y cualquier función g:(Y, tf)->(Z, t) se tiene que g es continua si y sólo si g \circ f es continua

Bibliografía

  • Robles Corbalá Carlos Alberto, "Topología general" primera edición Universidad de Sonora.

Enlaces externos


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