Transformación de Galileo

Una transformación de Galileo es un cambio de coordenadas y velocidades que deja invariante las ecuaciones de Newton. La condición anterior equivale a que la transformación entre las coordenadas de un sistema de referencia inercial y otro sistema inercial que se mueve respecto al primero sea también una transformación de Galileo.

Transformación de coordenadas

Galileo propuso que si se tiene un sistema $A\;$ en reposo y un sistema $B\;$ en movimiento, a velocidad constante $V_x\;$ respecto del primero a lo largo del sentido positivo del eje $x\;$, y si las coordenadas de un punto del espacio para $A\;$ son $(x, y, z)\;$ y para $B\;$ son $(x', y', z')\;$, se puede establecer un conjunto de ecuaciones de transformación de coordenadas bastante sencillo.

Así, si se quiere hallar las coordenadas de B a partir de las coordenadas de A se tienen las ecuaciones:

$\begin{cases} x' = x - V_xt \\ y'=y \\ z' = z \end{cases}$

En cuanto al tiempo, se tiene que

$t' = t \,$

Las anteriores relaciones se pueden reescribir en forma matricial como:

$\begin{bmatrix} t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -V_x & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix}$

Las anteriores son las transformaciones de Galileo más simples. Generalmente se consideran transformaciones más generales, de hecho el conjunto de todas las transformaciones del tipo anterior según cualquier dirección (no necesariamente sobre el eje X) junto con las rotaciones constituyen el llamado grupo de Galileo. El grupo de Galileo completo incluyendo las traslaciones espaciales y temporales, es substancialmente más complicado que el grupo de Lorentz.

Transformaciones de otras magnitudes

A diferencia de las transformaciones de Lorentz que actúan del mismo modo sobre todos los (cuadri)vectores, las transformaciones de Galileo son diferentes para diferentes vectores por ejemplo las fuerzas y las aceleraciones son invariantes bajo una transformación de Galileo simple, en cambio el momento lineal se transforma de manera similar a como lo hace el vector velocidad:

$\begin{matrix} \mathbf{v}' = \mathbf{v} - \mathbf{V} & \qquad & \mathbf{a}' = \mathbf{a} \\ \mathbf{p}' = \mathbf{p} - m\mathbf{V} & \qquad & \mathbf{F}' = \mathbf{F} \end{matrix}$

La energía cinética tiene una ley de transformación aún más complicada:

$T' = \frac{1}{2}m{{v}'}^2 = \frac{1}{2}m\|\mathbf{v} - \mathbf{V}\|^2 = \frac{1}{2}m({v}^2 + {V}^2) - m\mathbf{v} \cdot \mathbf{V} = T + \frac{1}{2}m{V}^2 - \mathbf{p} \cdot \mathbf{V}$

Véase también

• Sistema inercial