Triángulo aritmético de Fibonacci

Es una ordenación triangular de números enteros impares que utilizó Fibonacci para demostrar la identidad $\,1^3 + 2^3 + 3^3 + ... +n^3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)^2$

El triángulo

1
5	3
11	9	7
19	17	15	13
29	27	25	23	21
41	39	37	35	33	31
55	53	51	49	47	45	43
71	69	67	65	63	61	59	57
89	87	85	83	81	79	77	75	73
109	107	105	103	101	99	97	95	93	91
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

^[1]

La demostración

Fibonacci observó que cada k-ésima fila es una progresión aritmética cuyo valor medio es k². Por consiguiente, la suma de los k términos de la k-ésima fila es k . k² = k³. La suma "S" de las primeras n filas consecutivas es $\,S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3$. Además Fibonacci conocía un resultado que la leyenda atribuye a Pitágoras: la suma de los primeros m enteros impares es igual a m². De esta forma $\, S = (1 + 2 + 3 + ... + n)^2$ porque en las primeras k filas hay 1 + 2 + 3 + ... + k números enteros impares.^[2]

Propiedades elementales del triángulo de Fibonacci

• La k-ésima fila tiene k elementos.
• La suma de los elementos de la k-ésima fila es igual a k³.
• El menor número entero impar que forma parte de la k-ésima fila es igual a k² - (k - 1).
• El mayor número entero impar que está en la k-ésima fila es igual a k² + (k - 1).

Identidades deducidas del triángulo

Conocemos la identidad $\, 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n^2 + n}{2}$, que se demuestra por inducción matemática en los cursos elementales de álgebra. También sabemos que $\, 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left(\frac{n^2 + n}{2}\right)^2$.

La suma de cubos de números enteros hasta un valor arbitrario n-1 es $\, 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + (n-1)^3 = \left(\frac{\left(\,n-1\right)^2 + \left(\,n-1\right)}{2}\right)^2 = \left(\frac{n^2 - 2\cdot n + 1 + n - 1}{2}\right)^2 = \left(\frac{n^2 - n}{2}\right)^2$.

Evidentemente $\, n^3 = \left(\, 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3\right) - \left(\, 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + (n-1)^3\right) = \left(\frac{n^2 + n}{2}\right)^2 - \left(\frac{n^2 - n}{2}\right)^2 =$ $= \left(\frac{n^2 + n}{2}\right)^2 - \left(\frac{(n - 1)^2 + (n - 1)}{2}\right)^2$.

La primera identidad deducida nos dice, entonces, que todo cubo es una diferencia de cuadrados, los cuadrados de dos números triangulares consecutivos cuyos órdenes son la raíz cúbica del cubo y ésta menos la unidad.

La segunda identidad es una generalización de verificación inmediata: $n^{2j-1} = \left(\frac{n^j + n^{j-1}}{2}\right)^2 - \left(\frac{n^j - n^{j-1}}{2}\right)^2$. Cualquier potencia de exponente impar puede escribirse como una diferencia de cuadrados.

Aunque originalmente estas consideraciones fueron efectuadas para números enteros, las identidades deducidas valen en el campo real.

Referencias y notas

1. ↑ Dantzig, Tobías (1971). «Segunda Parte, B, Temas de los Enteros». El Número. Lenguaje de la Ciencia. Buenos Aires: Editorial Hobbs Sudamericana S.A.. pp. 278. 
2. ↑ Dantzig, Tobías (1971). «Segunda Parte, B, Temas de los Enteros». El Número. Lenguaje de la Ciencia. Buenos Aires: Editorial Hobbs Sudamericana S.A.. pp. 277,78.