Variedad topológica

Variedad topológica

En matemáticas, una variedad topológica es un espacio topológico que localmente tendrá la estructura topológica de \mathbb{R}^n, en un sentido precisado más abajo. De este modo una variedad heredará muchas de las propiedades locales del espacio euclídeo, pero no las globales. Será necesario añadir condiciones globales a la definición para evitar la aparición de ejemplos considerados patológicos.

Así, si sólo exigimos la condición de ser localmente euclídeo, aparecerán espacios no Hausdorff o ejemplos de espacios que no verifican el segundo axioma de numerabilidad y no son metrizables (como la línea larga o la superficie de Prüfer). Para evitar todo esto, suelen incluirse dos condiciones más en la definición de variedad topológica.

Contenido

Definición formal

Una variedad topológica de dimensión n es un espacio topológico \mathcal{M} al que exigiremos:

  1. Ser localmente euclídeo (i.e. para cada punto x \in \mathcal{M} existe un abierto U, entorno de x, homeomorfo mediante \phi:U \rightarrow V a un abierto V de \mathbb{R}^n).
  2. Ser Hausdorff (T_2\,).
  3. Verificar el segundo axioma de numerabilidad (ANII).

Observaciones sobre la definición:

  • Como hemos mencionado antes, la condición 2) es necesaria, pues 1) no implica 2). Aunque en algunos casos aparecen variedades no Hausdorff (espacios totales de un haz), usualmente los autores asumen la condición 2).
  • Hay autores que no incluyen la condición 3), en ese caso se pierden algunas propiedades deseables, como ser metrizable, pues para un espacio que verifique solamente 1) y 2) son equivalentes:
    • Cada componente de \mathcal{M} es ANII.
    • \mathcal{M} es metrizable.
    • \mathcal{M} es paracompacto.
  • Un teorema de Whitney nos dice que en caso de incluir 2) y 3) en la definición de variedad, entonces nuestra idea de variedad topológica coincidirá con la de subvariedad de algún \R^d.

Cartas y funciones de transición

La condición de ser localmente euclídeo garantiza que para cada punto de la variedad existe un abierto U que lo contiene y un homeomorfismo \phi:U \rightarrow V \subset \mathbb{R}^n con un abierto de Rn. Del par (U, φ) decimos que es una carta de M. Dicha carta nos permitirá asignar coordenadas a los puntos de la variedad contenidos en el abierto U.

En caso de poder asignar coordenadas mediante dos cartas (U1, φ1) y (U2, φ2) que se solapen, es natural plantearse el cambio de un sistema de coordenadas a otro para los puntos de U_1 \cap U_2. Este cambio se realiza mediante el homeomorfismo

\phi_2 \circ \phi_1^{-1}:\phi_1(U_1 \cap U_2) \rightarrow \phi_2(U_1 \cap U_2)

De dicho homeomorfismo decimos que es una función de transición, cambio de cartas o cambio de coordenadas de M.

Se definen nuevas variedades al exigir que el cambio de cartas verifique ciertas propiedades. Así, si pedimos que el cambio de cartas sea diferenciable (resp. holomorfo) obtendremos las variedades diferenciables (resp. complejas).

Propiedades

  • Una variedad topológica no tiene por qué ser conexa, pero es conexa si y sólo si es conexa por caminos.

Referencias

  • Lee, John, Introduction to Topological Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 202, Springer, New York, 2000, ISBN 0-387-98759-2
  • Spivak, Michael, A comprehensive introduction to differential geometry, volume I, Publish or Perish, Inc, Houston, Texas, 1999, ISBN 0-914098-87-X. (apéndice A)

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Mira otros diccionarios:

  • Variedad diferenciable — En Geometría y Topología, una variedad diferenciable es un tipo especial de variedad topológica, a la que podemos extender las nociones de cálculo diferencial que normalmente usamos en . En una variedad diferenciable M podremos definir lo que es… …   Wikipedia Español

  • Variedad (matemática) — En una esfera, la suma de los ángulos de un triángulo no es igual a 180°, pues una esfera no es un espacio euclídeo. Sin embargo, localmente, las leyes de la geometría euclídea son buenas aproximaciones. Este ejemplo ilustra cómo la esfera puede… …   Wikipedia Español

  • Variedad compleja — En geometría diferencial, una variedad compleja M es una variedad topológica que tiene la estructura que nos permite definir la noción de función holomorfa .[1] Ello se podrá conseguir por dos caminos: Exigiendo que exista un atlas (o conjunto de …   Wikipedia Español

  • Variedad subriemanniana — En matemática, una variedad subriemanniana es un cierto tipo de generalización de una variedad de Riemann. A grandes rasgos, para medir distancias en una variedad subriemanniana, solo se permite moverse a través de curvas tangentes a los llamados …   Wikipedia Español

  • 4-variedad — En la topología, una 4 variedad es una variedad topológica de 4 dimensiones. Una 4 variedad diferenciable es una 4 variedad con una estructura diferenciable. En dimensión 4 hay un notable contraste con dimensiones más bajas, las categorías… …   Wikipedia Español

  • 3-variedad — En topología de dimensiones bajas las 3 variedades son un campo que estudia variedades topológicas de tres dimensiones. Es decir espacios de Hausdorff que son localmente homeomorfos al espacio euclídeo . Se sabe que en las categorías topológica,… …   Wikipedia Español

  • Superficie (matemática) — Para otros usos de este término, véase superficie (desambiguación). Ilustración de una superficie curvada, inmersa en , orientable y con borde; sobre la que se ha dibujado un conjunto de líneas coordenadas ortogonales. Una superficie es de hecho… …   Wikipedia Español

  • Atlas (matemáticas) — Un atlas es un conjunto de cartas (entornos de coordenadas) que proveen de estructura localmente euclídea a un espacio topológico, una carta local que contiene a un punto P define un conjunto de coordenadas curvilíneas en el entorno de P. Cada… …   Wikipedia Español

  • Multifractal — Un multifractal un conjunto multifractal es una clase de conjunto fractal formado por una jerarquía de subconjuntos (variedades), cada uno de ellos de carácter fractal (variedades fractales). Por lo general, se considera que el multifractal es… …   Wikipedia Español

  • Simetría en física — La simetría en física incluye todos los rasgo de un sistema físico que exhibe propiedades de la simetría – eso es, que bajo ciertas transformaciones, aspectos de esos sistemas son “incambiables”, de acuerdo a una observación particular. Una… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”