Algoritmo QMR

El algoritmo QMR fue creado para resolver el sistema lineal Ax = b donde A es una matriz cuadrada que no requiere ser simétrica.

Introducción

El algoritmo QMR Quasi-Minimal Residual se debe a Roland W. Freund y Noël M. Nachtigal los cuales en 1991 publicaron este algoritmo el cual se basa en la biortogonalización de Lanczos.

Quas-Minimal Residual

El algoritmo Quasi-Minimal Residual se basa en la Biortogonalización de Lanczos el cual es una extensión para matrices no simétricas de la ortogonalización de Lanczos simétrico.

Biortogonalización de Lanczos

EL proceso de Biortogonalización para matrices no simétricas de Lanczos, consiste en construir dos bases ortogonales a los subespacios $\mathcal{K}_m\left(A,v_1\right)=\mathrm{span}\left\{v_1,Av_1,\ldots,A^{m-1}v_1\right\}$ y $\mathcal{K}_m\left(A^T,w_1\right)=\mathrm{span}\left\{w_1,A^Tw_1,\ldots,\left(A^T\right)^{m-1}v_1\right\}$.

Para construir estas bases Biortogonales en los subespacios $\mathcal{K}_m\left(A,v_1\right)$ y $\mathcal{K}_m\left(A^T,w_1\right)$ se utilizara el algoritmo que se muestra a continuación

Luego de usar este algoritmo se garantiza en aritmética exacta que $\left(v_i,w_j\right)=0$ si $i\neq j$ y $\left(v_i,w_j\right)=1$ si i = j. Ahora con los valores α_j, β_j y δ_j obtenidos por el algoritmo anterior vamos a construir la matriz T_m como una tridiagonal de la siguiente forma.

$T_m=\left(\begin{array}{ccccc} \alpha_1 & \beta_2 & 0 & \ldots & 0\\ \delta_2 & \alpha_2 & \beta_3 & & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & \ldots & \delta_{m-1} & \alpha_{m-1} & \beta_{m}\\ 0 & \ldots & 0 & \delta_m & \alpha_m \end{array}\right)$

Algoritmo Quasi-Minimal Residual

Se construye la matriz $\overline{T}_m$ a partir de la que se obtuvo en la biortogonalización de Lanczos de la siguiente forma

$\overline{T}_m=\left(\begin{array}{c} T_m\\ \delta_{m+1}e^T_m \end{array}\right)$

Otras de las cosas que se usaran en el algoritmo es la factorización QR, la cual se obtiene aplicando las rotaciones Ω_i obtenidas de la siguiente forma.

$\Omega_i=\left(\begin{array}{ccc} I_{i-1}&0&0\\ 0&\begin{array}{cc}c_i&s_1\\-s_i&c_i \end{array} &0\\ 0&0&I_{n-(i+1)} \end{array}\right)$

donde c_i y s_i se consiguen de la siguiente forma. $s_i=\frac{a_{i+1,i}}{\sqrt{\left(a_{ii}^{(i-1)}\right)^2+a_{i+1,i}^2}} \quad c_i=\frac{a_{ii}^{(i-1)}}{\sqrt{\left(a_{ii}^{(i-1)}\right)^2+a_{i+1,i}^2}}$

Donde $a_{ii}^{(i-1)}$ a_{i + 1,i} corresponden a las respectivas entradas de la matriz luego de aplicarse las rotaciones $\Omega_1,\ldots,\Omega_{i-1}$.

Referencias

• R. W. Freund, N. M. Nachtigal (1991). «QMR: a quasi-minimal residual method for non-Hermitian linear systems». Numerische Mathematik 60. 
• Yousef Saad (2000). Iterative methods for sparse linear systems. http://www-users.cs.umn.edu/~saad/PS. 

Véase también

• en:Basic Linear Algebra Subprograms
• en:Automatically Tuned Linear Algebra Software
• Algoritmo TFQMR
• Subespacio de Krylov

Enlaces externos

• Implementaciones de los métodos QMR y TFQMR
• Otros algoritmos para sistemas lineales programados en c++ y análisis numérico