Coeficientes Clebsch—Gordan

Para los coeficientes vea el Anexo:Tabla de coeficientes de Clebsch-Gordan.

En física, los coeficientes Clebsch—Gordan o coeficientes CG son el conjunto de números que aparecen al acoplar momentos angulares en mecánica cuántica. El nombre deriva de los matemáticos alemanes Alfred Clebsch (1833-1872) y Paul Gordan (1837-1912), que resolvieron un problema equivalente en la teoría de invariantes.

En términos matemáticos, los coeficientes de CG se utilizan en teoría de grupos, en particular en los grupos de Lie para calcular un producto tensorial de representaciones irreducibles como suma directa de la descomposión del mismo en las distintas representaciones irreducibles.

La física emplea esta peculiaridad para descomponer un determinado estado con una determinada base del espacio de Hilbert y una determinada representación en una suma de estados en otra representación que pueda ser más útil, especialmente en el caso de estados en una determinada representación irreducible de SO(3) de rotaciones. En el artículo se utiliza la notación de Dirac.

Definición formal

Sea V₁ un espacio vectorial con 2j₁ + 1 dimensiones representado por los estados $|j_1 m_1\rangle,\{ m_1=-j_1,-j_1+1,\ldots j_1\}$ y V₂ otro espacio vectorial con 2j₂ + 1 dimensiones, igualmente representado por los estados $|j_2 m_2\rangle,\{m_2=-j_2,-j_2+1,\ldots j_2\}.$

El producto tensorial de estos espacios, $V_{12}\equiv V_1\otimes V_2$, tiene (2j₁ + 1)(2j₂ + 1) dimensiones. Este espacio se representa con la denominada base desacoplada: $|j_1j_2 m_1m_2\rangle \equiv |j_1 m_1\rangle \otimes |j_2 m_2\rangle.$

Puede ser más útil emplear un espacio vectorial suma $V_3=V_1\oplus V_2$ (con $j_3=|j_1-j_2|,\ldots ,j_1+j_2$, $m_3=-j_3,-j_3+1,\ldots j_1$ y 2j₃ + 1 dimensiones) y utilizar una nueva base, denominada base acoplada, de forma que:

$|j_1j_2j_3m_3\rangle = \sum_{m_1,m_2}|j_1j_2m_1m_2\rangle \langle j_1j_2m_1m_2|j_3m_3\rangle= \sum_{m_1,m_2}|j_1m_1\rangle\otimes|j_2m_2\rangle C_{j_3m_3}^{m_1m_2}.$

Los coeficientes del desarrollo $C_{j_3m_3}^{m_1m_2}=\langle j_1j_2m_1m_2|j_3m_3\rangle$ se denominan coeficientes Clebsch-Gordan.

Notación en física nuclear

Utilizando una determinada representación, por ejemplo la representación de posiciones, y utilizando la notación de Einstein, podemos escribir:^[1]

$\psi^{j_1j_2j_3}_{m_3}(\vec{r}) = \langle \vec{r}|j_1j_2j_3m_3\rangle = C^{j_1j_2j_3}_{m_1m_2m_3}\varphi^{j_1}_{m_1}\varphi^{j_2}_{m_2}= C^{j_1j_2j_3}_{m_1m_2m_3}\phi^{j_1j_2}_{m_1,m_2}(\vec{r}).$

También se suele utilizar emplear la siguiente notación:

$\left[\phi^{[j_1]}\otimes \phi^{[j_2]} \right]^{[j_3]}=\sum_{m_1,m_2}{C^{j_1,j_2,j_3}_{m_1,m_2,m_3}\phi_{j_1,m_1}\phi_{j_2,m_2}}.$

Ejemplo de uso: acoplamiento de momentos angulares

Artículo principal: Acoplamiento de momentos angulares

Propiedades

Ortogonalidad

La primera de las relaciones de ortogonalidad es:

$\sum_{j_3,m_3}{\langle m_1m_2|j_3m_3\rangle\langle j_3m_3|m'_1m'_2\rangle}=C^{m_1m_2}_{j_3m_3}C^{j_3m_3}_{m'_1m'_2}=\delta^{m_1}_{m'_1}\delta^{m_2}_{m'_2},$

y la segunda:

$\sum_{m_1,m_2}{\langle j_3m_3|m_1m_2\rangle\langle m_1m_2|j'_3m'_3\rangle}=C^{j_3m_3}_{m_1m_2}C^{m_1m_2}_{j'_3m'_3}=\delta^{j_3}_{j'_3}\delta^{m_3}_{m'_3}.$

Simetría

$\begin{align} C^{j_1,j_2,j_3}_{m_1,m_2,m_3} = \\ & = (-1)^{j_1+j_2-j_3} C^{j_1,j_2,j_3}_{-m_1,-m_2,-m_3} \\ & = (-1)^{j_1+j_2-j_3} C^{j_2,j_1,j_3}_{m_2,m_1,m_3} \\ & = (-1)^{j_1-m_1} \sqrt{\frac{2j_3 +1}{2j_2 +1}}C^{j_1,j_3,j_2}_{m_1,-m_3,-m_2} \\ & = (-1)^{j_2+m_2} \sqrt{\frac{2j_3 +1}{2j_1 +1}}C^{j_3,j_2,j_3}_{-m_3,m_2,-m_1} \\ & = (-1)^{j_1-m_1} \sqrt{\frac{2j_3 +1}{2j_2 +1}}C^{j_3,j_1,j_2}_{m_3,-m_1,m_2} \\ & = (-1)^{j_2+m_2} \sqrt{\frac{2j_3 +1}{2j_1 +1}}C^{j_2,j_3,j_1}_{-m_2,m_3,m_1} \end{align}$

Casos especiales

Véase

• Símbolos 3-jm
• Símbolos 6-j
• Símbolos 9-j
• Coeficiente W de Racah
• Armónicos esféricos
• Polinomios asociados de Legendre
• Momento Angular
• Acoplo de momento angular
• Número cuántico de momento angular total
• Número cuántico azimutal
• Tabla de coeficientes de Clebsch-Gordan
• Matriz D de Wigner

Referencias

Notas

1. ↑ Aún habiendo índices arriba y abajo no se emplea notación covariante.

Bibliografía

• Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu, Franck Laloë (1977). Quantum Mechanics. vol.1 (3ª edición). París, Francia: Hermann. pp. 898. ISBN 0-471-16432-1. 
• Eisenberg, J.M. and Greiner, W. (1975). Nuclear models. 

Véase también

• Mecánica cuántica