Constante de Gauss

En matemática, la constante de Gauss, denotada mediante la letra G, es definida como la inversa de la media aritmético-geométrica de 1 y la raíz cuadrada de 2:

$G = \frac{1}{\mathrm{agm}(1, \sqrt{2})} = 0.8346268\dots$

La constante es así llamada en honor a Carl Friedrich Gauss, quien el 30 de mayo de 1799, descubrió que

$G = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1 - x^4}}$

así pues:

$G = \frac{1}{2\pi}\Beta(\begin{matrix} \frac{1}{4}\end{matrix}, \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix})$

donde B denota la función beta de Euler.

Relaciones con otras contantes

La constante de Gauss puede ser usada para expresar el valor particular de la función gamma si el argumento es 1/4:

$\Gamma( \begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}) = \sqrt{ 2G \sqrt{ 2\pi^3 } }$

y puesto que π y Γ(1/4) son algebraicamente independientes con Γ(1/4) e irracionales, la constante de Gauss es también un número trascendente.

Constantes de la lemniscata

La constantes de Gauss también puede ser usada en la definición de las constantes de la lemniscata; la primera de éstas es:

$L_1\;=\;\pi G$

y la segunda constante:

$L_2\,\,=\,\,\frac{1}{2G}$

las cuales se plantean en problemas de cálculo de longitud de arco de una lemniscata.

Otras fórmulas

Una fórmula que expresa G en términos funciones theta de Jacobi es la siguiente:

$G = \vartheta_{01}^2(e^{-\pi})$

También hay representaciones en forma de series de convergencia rápida, como puede ser la siguiente:

$G = \sqrt[4]{32}e^{-\frac{\pi}{3}}\left (\sum_{n = -\infty}^{\infty} (-1)^n e^{-2n\pi(3n+1)} \right )^2.$

La constante puede ser expresada también mediante un producto infinito

$G = \prod_{m = 1}^\infty \tanh^2 \left( \frac{\pi m}{2}\right).$

así como en forma de fracción continua mediante la siguiente secuencia: [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...].

Referencias

• Eric W. Weisstein. «Gauss's Constant.html» (en inglés). Consultado el 24 de abril de 2010.
• (sucesión A014549 en OEIS)
• (sucesión A053002 en OEIS)