Coordenadas baricéntricas (n-simplex)

Las coordenadas baricéntricas permiten parametrizar mediante n+1 números reales en el intervalo [0,1] el interior de un n-simplex. En realidad, de las n+1 coordenadas baricéntricas sólo n son independientes, ya que la suma de todas es igual a uno.

Triángulo

Como ejemplo introductorio se considera un triángulo en el plano euclídeo $\scriptstyle \mathbb{E}^2$ de vértices $\scriptstyle \text{A}=(x_A,y_A)$, $\scriptstyle \text{B}=(x_B,y_B)$ y $\scriptstyle \text{C}=(x_C,y_C)$, entonces cualquier punto del interior del triángulo $\scriptstyle \text{P}=(x,y)$ puede ser representado por tres coordenadas baricéntricas $\scriptstyle (\alpha,\beta,\gamma)$ tales que:

$\alpha + \beta + \gamma = 1\,\qquad 0 \le \alpha, \beta, \gamma \le 1$

Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por:

$\begin{cases} x = \alpha x_A + \beta x_B + \gamma x_C \\ y = \alpha y_A + \beta y_B + \gamma y_C \end{cases}$

En concreto el lado $\scriptstyle \text{AB}$ se caracteriza por tener $\scriptstyle \gamma = 0$, el lado $\scriptstyle \text{BC}$ tiene $\scriptstyle \alpha = 0$, y el lado $\scriptstyle \text{CA}$ $\scriptstyle \beta = 0$. El baricentro coincidirá con el punto $\scriptstyle (\alpha,\beta,\gamma) = (1/3,\ 1/3,\ 1/3)$. El triángulo estará formado por todos los puntos del conjunto T:

$T = \{(x,y)| \exists\alpha,\beta,\gamma:(\alpha+\beta+\gamma=1)\ \land\ (x = \alpha x_A+\beta x_B+\gamma x_C)\ \land\ (y = \alpha y_A+\beta y_B+\gamma y_C)\}$

El lado a (opuesto al vértice A) será el conjunto de puntos:

(left) $T_a = \{(x,y)\in T| \exists\beta,\gamma:(\beta+\gamma=1)\ \land\ (x = \beta x_B+\gamma x_C)\ \land\ (y = \beta y_B+\gamma y_C)\}$

y análogamente los lados b y c por lo que la frontera del triángulo estará formada por los puntos tales que alguna de sus coordenadas baricéntricas sea cero. Y los vértices satisfacen que una de sus coordenadas baricéntricas es uno y las otras son nulas.

Tetraedro

La construcción anterior puede ampliarse a un tetraedro, no necesariamente regular, en el espacio euclídeo $\scriptstyle \mathbb{E}^3$. Si los vértices del tetraedro en cuestión son $\scriptstyle \text{A}=(x_A,y_A,z_A)$, $\scriptstyle \text{B}=(x_B,y_B,z_B)$, $\scriptstyle \text{C}=(x_C,y_C,z_C)$ y $\scriptstyle \text{D}=(x_D,y_D,z_D)$, entonces cualquier punto del interior del tetraedro $\scriptstyle \text{P}=(x,y,z)$ puede ser representado por cuatro coordenadas baricéntricas $\scriptstyle (t_A, t_B, t_C, t_D)$ tales que:

$t_A + t_B + t_C + t_D = 1\,\qquad 0 \le t_X \le 1$

Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por:

$\begin{cases} x = t_A x_A + t_B x_B + t_C x_C + t_D x_D \\ y = t_A y_A + t_B y_B + t_C y_C + t_D y_D \\ z = t_A z_A + t_B z_B + t_C z_C + t_D z_D \end{cases}$

El baricentro coincidirá con el punto $\scriptstyle (t_A, t_B, t_C, t_D)\ =\ (1/4,\ 1/4,\ 1/4,\ 1/4)$. Dado un ponto P si ninguna de las coordenadas baricéntricas es cero $t_A\ne 0, t_B\ne 0, t_C\ne 0, t_D\ne 0$ el punto será un interior, si sólo una de ellas es cero será un punto interior a una de las caras del tetraedro, si dos y sólo dos de las coordenadas baricéntricas son cero el punto será el interior de una arista y si tres de las coordenadas baricéntricas son cero (y por tanto la otra igual a 1) el punto será un vértice.

n-simplex

Dado un n-simplex en el espacio euclídeo $\scriptstyle \mathbb{E}^n$, se pueden definir las coordenadas baricéntricas generalizadas. Si los n+1 vértices del n-simplex son:

$V_i=(\sigma^i_1,\sigma^i_2,\ldots,\sigma^i_{n}) \qquad i=1,2,\ldots,n+1 \qquad,$

entonces cualquier punto del interior del simplex $\scriptstyle P=(p_1, p_2,\ldots,p_{n})$ puede ser representado por n+1 coordenadas baricéntricas $\scriptstyle (t_1,t_2,\ldots,t_{n+1})$ tales que:

$\sum_{i=1}^{n+1} t_i = 1\,\qquad 0 \le t_i \le 1$

Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por:

$p_j=\sum_{i=1}^{n+1} t_i \sigma^i_j \qquad j=1,2,\ldots,n$

El baricentro coincidirá con el punto $(t_1, t_2,\ldots,t_{n+1})\ =\ (1/(n+1),1/(n+1),\ldots,1/(n+1))$.