Función Z

En matemática, la función Z es una función usada para el estudio de la función zeta de Riemann a lo largo de la recta crítica, donde la parte real del argumento es 1/2. Es también llamada función Z de Riemann-Siegel o función zeta de Hardy.^[1] Ésta puede ser definida en términos de la función theta de Riemann-Siegel y de la función zeta de Riemann como:^[1]

$Z(t) = e^{i \theta(t)} \zeta\left(\frac{1}{2}+it\right).$

Propiedades

Se puede deducir de la ecuación funcional de la función zeta de Riemann que la función Z es real para valores reales de t. Es una función impar, y analítica para valores del argumento reales. De hecho, se puede observar que la función theta de Riemann-Siegel y la función zeta de Riemann son ambas holomorfas en la recta crítica, y donde la parte imaginaria de t está comprendida entre -1/2 y 1/2, la función Z es holomorfa en el rango crítico también.^[2] Más aun, los ceros reales de Z(t) son precisamente los ceros de la función zeta a lo largo de la recta crítica, y los ceros complejos de la función Z dentro del rango crítico, corresponden a los ceros complejos fuera de la recta crítica de la función zeta de Riemann.

Función theta de Riemann-Siegel en el plano complejo

$-5 < \Re(t) < 5$	$-40 < \Re(t) < 40$

Véase también

• función zeta de Riemann
• función eta de Dirichlet

Referencias

1. ↑ ^{a b} Weisstein, Eric W. (2005). «Riemann-Siegel Functions» (en inglés). Consultado el 15 de enero de 2010.
2. ↑ Berry, M. V. (1995). «The Riemann-Siegel Expansion for the Zeta Function: High Orders and Remainders». The royal society 450 (1939). p. 439-462. http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/450/1939/439.abstract. 

Bibliografía

• Edwards, H. M., Riemann's Zeta-Function, Academic Press, 1974
• Paris, R. B., and Kaminski, D., Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001
• Ramachandra, K., On the Mean-Value and Omega-Theorems for the Riemann Zeta-Function, Springer-Verlag, 1995
• Edward Charles Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function, second revised (Heath-Brown) edition, Oxford University Press, 1986

Enlaces externos

• Wolfram Research (2009). «RiemannSiegelZ» (en inglés). Consultado el 15 de enero de 2010.