Función homogénea

En matemática, una función homogénea es una función que presenta un comportamiento multiplicativo de escala interesante: si todos los argumentos se multiplican por un factor constante, entonces el valor de la función resulta ser un cierto número de veces el factor multiplicativo elevado a una potencia. Dicha potencia es el grado de la función homogénea (ver #Definción formal).

Definición formal

Supongamos una función cuya definción es $f: V \rarr W$ entre dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo. Entonces se dice que $f\,$ es homogénea de grado k si:

$f(\alpha \mathbf{v}) = \alpha^k f(\mathbf{v}), \qquad \forall \alpha \in F \ne 0,\quad \forall \mathbf{v} \in V$

Ejemplos

Las funciones lineales

Cualquier función lineal $f: V \rarr W\,$ es homogénea de grado 1, puesto que por definición se tiene:

$f(\alpha \mathbf{v})=\alpha f(\mathbf{v})$

para todo $\alpha \isin F$ y $\mathbf{v} \isin V \qquad\qquad$. Del mismo modo, cualquier función multilineal $f: V_1 \times \ldots \times V_n \rarr W \qquad\qquad$ es homogénea de grado n, por definción.

$f(\alpha \mathbf{v}_1,\ldots,\alpha \mathbf{v}_n)=\alpha^n f(\mathbf{v}_1,\ldots, \mathbf{v}_n)$

para todo $\alpha \isin F$ y $\mathbf{v}_1 \isin V_1,\ldots,\mathbf{v}_n \isin V_n$. Se sigue que la n-ésima derivada de Fréchet de una función $f: X \rightarrow Y$ entre dos espacios de Banach $X\,$ y $Y\,$ es homogénea de grado $n\,$.

Polinomios homogéneos

Los monomios es n variables reales definen funciones homogéneas$f:\mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R}$. Por ejemplo,

$f(x,y,z)=x^5y^2z^3\,$

es homogénea de grado 10 puesto que:

$(\alpha x)^5(\alpha y)^2(\alpha z)^3=\alpha^{10}x^5y^2z^3\,$

Un polinomio homogéneo es un polinomio hecho de una suma de monomios del mismo grado. Por ejemplo,

$x^5 + 2 x^3 y^2 + 9 x y^4\,$

es un polinomio homogéneo de grado 5.

Propiedades

• El teorema de Euler sobre funciones homogéneas establece:

Supongamos que una función $f:\mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R}$ es infinitamente diferenciable. Entonces f es homogénea de grado k si y sólo si: $\mathbf{x} \cdot \nabla f(\mathbf{x})= kf(\mathbf{x}) \qquad\qquad$.

• Supongamos que $f:\mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R}$ es diferenciable y homogénea de grado k. Entonces sus derivadas parciales de primer orden $\partial f/\partial x_i$ son funciones homogéneas de grado k-1.

Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler. Escribiendo $f=f(x_1,\ldots,x_n)$ y diferenciado la ecuación

$f(\alpha \mathbf{y})=\alpha^k f(\mathbf{y})$

Definiendo $x_i = \alpha y_i\,$ y derivando con respecto a $y_i\,$, encontramos por la regla de la cadena que:

$\frac{\partial}{\partial x_i}f(\alpha\mathbf{y})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y_i}(\alpha y_i) = \alpha ^k \frac{\partial}{\partial x_i}f(\mathbf{y})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y_i}(y_i)$

Y por tanto:

$\alpha\frac{\partial}{\partial x_i}f(\alpha\mathbf{y}) = \alpha ^k \frac{\partial}{\partial x_i}f(\mathbf{y})$

Y finalmente:

$\frac{\partial}{\partial x_i}f(\alpha\mathbf{y}) = \alpha ^{k-1} \frac{\partial}{\partial x_i}f(\mathbf{y})$

Aplicación a las EDOs

La substitución v = y / x convierte la ecuación diferencial ordinaria (EDO)

$I(x, y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + J(x,y) = 0,$

Donde $I\,$ y $J\,$ son funciones homogéneas del mismo grado, en la ecuación diferencial separable:

$x \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=-\frac{J(1,v)}{I(1,v)}-v$

Referencia

Bibliografía

• Blatter, Christian (1979). «20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.» (en German). Analysis II (2nd ed.). Springer Verlag. pp. 188. ISBN 3-540-09484-9. 

Enlaces externos

• Función homogénea en Planet Math