Anexo:Funciones matemáticas


Anexo:Funciones matemáticas

Dados los conjuntos X e Y, finitos o infinitos y una función f del conjunto X en el conjunto Y que asigna a todo elemento x de X un solo elemento y de Y:


   \begin{matrix}
      f: & X & \longrightarrow{} & Y \\
         & x & \mapsto           & y
   \end{matrix}

Dado un par de valores x de X e y de Y, tal que la función f los relaciona, x es el origen de la función e y la imagen. En el análisis de funciones tomaremos x como variable independiente e y como variable dependiente, y = f(x), la forma matemática de la expresión que relaciona x con y, da lugar a los distintos tipos de funciones, algunos de los cuales debido a su importancia, tienen nombres propios, y por las similitudes que presentan se pueden agrupar en tipos, a continuación podemos ver algunas de estas funciones o tipos de funciones, con las correspondientes referencias a los artículos principales donde son estudiadas en profundidad.

Contenido

Tipos de funciones y su clasificación

Todas las funciones se clasifican necesariamente dentro de uno de los dos conjuntos infinitos de funciones, que son:

  • Conjunto de funciones elementales, formadas por los polinomios, el cociente de polinomios, los radicales, las funciones trigonométricas y sus inversas, las funciones exponencial y logarítmica, así como todas las funciones formadas a partir de las anteriores mediante operaciones algebraicas o composición de funciones.
  • Conjunto de funciones no-elementales, son el resto de funciones, es decir, cualquier función que no puede ser obtenida mediante un número finito de pasos combinanado funciones elementales es una función no elemental.

Funciones Elementales

Artículo principal: Función elemental

Las funciones elementales se dividen en cuatro conjuntos infinitos:

  • Conjunto de funciones básicas trascendentes y algebraicas
  • Conjunto de funciones compuestas trascendentes
  • Conjunto de funciones compuestas algebraicas
  • conjunto de funciones compuestas generales

   Funciones
   \left \{
   \begin{array}{l}
      Algebraicas
      \left \{
      \begin{array}{l}
          Expl \acute{\imath} citas
             \left \{
             \begin{array}{l}
                Potencias
                   \left \{
                   \begin{array}{l}
                      Polin \acute{o} mica \\
                      Racionales
                   \end{array}
                   \right .
             \\
                Radicales
             \end{array}
             \right .
      \\
          Impl \acute{\imath} citas
      \end{array}
      \right .
   \\
      Trascendentes
   \end{array}
   \right .

Funciones Algebraicas

Artículo principal: Función algebraica

Una función se dice algebraica si en su formulación solo intervienen las operaciones algebraicas de suma, diferencia, multiplicación, división y potenciación, si una función no es algebraica es trascendente.

Función explícita

Una función esta en su forma explícita si en la variable dependiente esta explícita respecto a la variable independiente en la forma:


   y = f(x) \;
Funciones de potencias de x
Artículo principal: Potenciación

Una función es de potencias de x si la variable independiente no esta bajo el signo de radicación y solo esta en potencias enteras de x.

Funciones polinomicas
Artículo principal: Función polinómica

Las funciones polinómicas Son las funciones P(x), donde P es un polinomio en x, es decir una combinación finita de sumas y productos entre escalares (números) y la variable x. Usualmente, los escalares son números reales, pero en ciertos contextos, los coeficientes pueden ser elementos de un campo o un anillo arbitrario (por ejemplo, fracciones, o números complejos). Ejemplo:


   y= 4x^3- x \;
Funciones racionales
Artículo principal: Función racional

Una función es racional si es la relación entre dos polinomios. Son funciones obtenidas al dividir una función polinomial por otra, no idénticamente nula, por ejemplo:


   y = \frac{3x^2-4x+1}{x^2-1}
Funciones radicales
Artículo principal: Función raíz

Si en una función, la variable independiente esta bajo el signo de radicación, sin poder obtener una expresión de esa misma función en la que no este, esa función es irracional, por ejemplo:


   y =\sqrt{x}

Si tenemos la función:


   y = \sqrt{x^2 +2x +1}

la variable independiente, x, esta bajo el signo de radicación, pero podemos ver que:


   y= \sqrt{x^2+2x+1}
   \rightarrow \quad
   y= \sqrt{(x+1)^2}
   \rightarrow \quad
   y= x+1

con lo que obtenemos una función no irracional.

Función implícita

Artículo principal: Función implícita

Una función esta en su forma implícita si la variable dependiente no esta explicitada respecto a la variable independiente, expresándose de la forma:


   f(x, y)=0 \;

Niels Henrik Abel demostró en 1824, que una función algebraica de grado superior a 4 no puede explicitarse, por eso llamaremos funciones implícitas a aquellas que no pueden ser expresadas de forma explícita. Por ejemplo la función:


   y^5 - 2xy^2 + 1 = 0 \;

no puede ser expresada de forma explícita de la forma:


   y =f(x)\;
  • Una función es implícita si no puede ser expresada de forma explícita.
  • Una función esta en su forma implícita si la variable dependiente no esta despejada respecto a la variable independiente.

Funciones elementales básicas trascendentes

Artículo principal: Función trascendente

Las funciones elementales básicas trascendentes son un conjunto finito de funciones que son usadas en todas las áreas de las matemáticas, física e ingeniería. Estas abarcan:

  1. Las Funciones trigonométricas: Seno, coseno, tangente; secante, cosecante, cotangente.
  2. Las funciones trigonométricas inversas: seno inverso, coseno inverso, tangente inversa, cotangente inversa, secante inversa y cosecante inversa.
  3. Las Funciones hiperbólicas: seno hiperbólico, coseno hiperbólico, tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica, secante hiperbólica y cosecante hiperbólica.
  4. Las funciones hiperbólicas inversas: seno hiperbólico inverso, coseno hiperbólico inverso, tangente hiperbólico inverso, cotangente hiperbólico inverso, secante hiperbólica inversa y cosecante hiperbólica inversa;
  5. La Función logarítmica
  6. La inversa del logaritmo, que correspondería a la Función exponencial.

De este modo son en total seis tipos distintos de funciones y se dicen elementales por que simple posee la función un argumento sobre el cual operar, mientras que las funciones algebraicas quedan completamente definidas por la variable independiente, coeficientes y potencias.

Funciones no elementales

Funciones básicas especiales

Función indicatriz
Función escalonada
Función escalón unitario
Funciones de parte entera
Función unitaria de Heaviside
Función signo
Valor absoluto
Función mantisa
Función de Dirichlet
Función de Ackermann

Funciones de Teoría de números

Función divisor
Función φ de Euler
Función primordial de conteo

Integral de funciones elementales

Función integral de logaritmo
Integral exponencial
Función error

Funciones especiales

Artículo principal: Función especial

Aplicaciones en espacios funcionales

Una aplicación T entre espacios funcionales es una "función" que aplica funciones de una determianda clase o espacio funcional dando como resultado una función de otra clase o espacio funcional:

T:\mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2

Desde el punto de vista matemático, muchos espacios funcionales pueden ser dotados de la estructura de espacio topológico o espacio normado, lo cual permite extender los conceptos de continuidad, acotación, etc. a aplicaciones entre espacios de funciones. Algunos ejemplos de transformaciones son:

Funciones de probabilidad

Véase también

Enlaces externos


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