Función simétrica monomial

Las funciones simétricas monomiales son una clase especial de funciones simétricas que forman la base más simple del espacio vectorial de funciones simétricas.

Definición

Si $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)$ es una partición, se construye el monomio

$x^\lambda = x_1^{\lambda_1}x_2^{\lambda_2}\cdots x_n^{\lambda_n}$.

La suma de tales monomios sobre todas las permutaciones distintas de λ, da como resultado un polinomio simétrico denotado $m_\lambda\,$.

(Función simétrica monomial) La función simétrica monomial asociada a la partición $\lambda\vdash n$ es la suma $m_\lambda=\sum_\sigma x^\sigma\,$, donde σ recorre todas las permutaciones distintas de λ.

Ejemplos

Las funciones simétricas monomiales en cuatro variables para las particiones más pequeñas son:

• $m_\emptyset = 1$.
• $m_1 = x_1 + x_2 + x_3 + x_4\,$.
• $m_2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2$.
• $m_{11} = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4 + x_3x_4\,$.
• $m_3 = x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 +x_4^3$.
• $m_{21} = x_1^2x_2 + x_2^2x_1^1 + x_1^2x_3 + x_3^2x_1 + x_1^2x_4 +x_4^2x_1 + x_2^2x_3 + x_3^2x_2 + x_2^2x_4 + x_4^2x_2 + x_3^2x_4+x_4^2x_3$.

Obsérvese que en m₁₁ sólo aparece x₁x₃ y no x₃x₁, porque ambas corresponden a la misma permutación (1010) de la partición (1100). En particular, se consideran todas las particiones de un entero n como si tuvieran n partes, añadiendo entradas cero de ser necesario.

Propiedades

Cualquier función simétrica en n variables

$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sum_\sigma x^\sigma$

puede reescribirse en términos de funciones simétricas monomiales como

$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sum_{\lambda} m_\lambda$,

por lo que el conjunto de funciones simétricas monomiales indizadas por las particiones de n

$\{ m_\lambda : \lambda \vdash n \}$

forma una base del espacio vectorial Λ_n de funciones simétricas en n variables.

Una consecuencia de la relación anterior es el siguiente teorema.

La dimensión del espacio vectorial Λn sobre $\mathbb{Q}$ de funciones simétricas en n variables es igual al número p(n) de particiones del entero n, y el conjunto de funciones simétricas monomiales es una base de dicho espacio vectorial.