Función distancia con signo


Función distancia con signo

En matemáticas la función distancia con signo mide cuan cerca se encuentra un punto x de un conjunto S otrogándole un signo según el punto se encuentre de 'un lado o de otro' del conjunto S.

f(x)= 
\begin{cases}
 d(x, S) & \mbox{ si } x\in A \\
0 & \mbox{ si } x\in S \\
 -d(x, S)&  \mbox{ si } x\in B
\end{cases}

donde

 d(x, S)=\inf_{y\in S}d(x, y) es la distancia ordinaria de un punto a un conjunto, A y B son conjuntos disjuntos que se definen según las características de S.

  • Aunque la definición de la función tiene sentido en un espacio métrico cualquiera y para cualquier conjunto S, habitualmente solo se define en los \mathbb{R}^n y con S con suficientes propiedades.
  • Si la superficie es completa, es decir, S = cl(S) donde cl es la clausura, podemos reemplazar ínfimo por mínimo.
  • La función distancia con signo es llamada también función distancia orientada


Contenido

Función distancia con signo para Superficies

Para una superficie S que encierra un volumen la función distancia con signo bS(x) tomará valores positivos fuera de S, irá tendiendo a 0 a medida que x se acerca a cl(S) y tomará valores negativos dentro de S.


b_{S}(x)= 
\begin{cases}
 d_{S}(x) & \mbox{ si } x\in S^+ \\
 0 & \mbox{ si } x\in cl(S) \\
 -d_{S}(x)&  \mbox{ si } x\in S^-
\end{cases}


Donde S + es el espacio fuera de la superficie y S el espacio encerrado por la superficie.

  • Para superficies que no encierran un volumen es posible también determinar el signo de bS(x). Sabemos que la elección de un vector normal N(p) en un punto p de una superficie S induce una orientación en S, esto es, un campo continuo de vectores normales a la superficie. Para superficies no orientables en general es posible, de la misma manera, determinar una orientación local en un entorno de p. Luego, como en general bS(x) puede tomarse como la distancia entre x y un único punto  p_{x}\in cl(S) , y como xpx es paralelo a N(p) la función tomara un valor positivo si xpx tiene el mismo sentido que N(p) y un valo negativo si tienen sentidos opuestos.

Esqueleto

  • Pueden existir ciertos puntos en el espacio donde la distancia a la superficie puede tomarse como la distancia a dos o más puntos de cl(S). Este conjunto de puntos lo llamamos esqueleto de S y lo notaremos \epsilon(S). Por ejemplo, en una esfera su esqueleto es su centro y un cilindro su eje.


 \epsilon(S)= \left\{x \in \mathbb{R}^3 \; / \; b_{S}(x)= s\|x - p_{x}\| = s\|x - p_{y}\|, \; s = \pm 1 \; y \; p_{x} \neq p_{y} \right\}

Propiedades

Si S es una superficie continua y suave a trozos se verifican las siguientes propiedades:


1. Sea  p_{x}\in cl(S) tal que  b_{S}(x)= \pm\|x - p_{x}\| entonces xpx es normal a S en px.

Demostración:
Sea A la esfera de centro x y radio \|x - p_{x}\|. Supongamos que xpx no es normal a S en px, entonces A no es tangente a S en px, entonces existirá en un entorno de px un  p_{y} \in S dentro A, entonces \|x - p_{y}\|<\|x - p_{x}\|, lo cual es falso.

2. bS(x) es Lipschitziana de constante k = 1, es decir, \|b_{S}(x) - b_{S}(y)\| \le \|x - y\| .

Demostración:
Si  x \;e\; y \in S^+ entonces \|x - p_{x}\| \le \|x - p_{y}\| \le \|x - y\|+\|y - p_{y}\|, entonces \|x - p_{x}\| - \|y - p_{y}\| \le \|x - y\|. Si  x \in S^+ e  y \in S^- , entonces  \exists z = \overline{xy} \cap S tal que \|x - p_{x}\| \le \|x - z\| y \|y - p_{y}\| \le \|y - z\|, entonces \|x - p_{x}\|+\|y - p_{y}\| \le \|x - y\|.

3. bS(x) es diferenciable en casi todos los puntos.

Demostración:
El teorema de Rademacher, establece que si U es un subconjunto abierto de  \mathbb{R}^n y f(x) es Lipschitz continua, entonces f(x) es Fréchet diferenciable en casi todo U.

4. bS(x) es diferenciable en x si y solo si  x \notin \epsilon(S) y en ese caso existirá un único px tal que  b_{S}(x)= \pm\|x - p_{x}\| y \nabla b_{S}(x)=\frac{x - p_{x}}{b_{S}(x)}.

5. \|\nabla b_{S}(x)\|=1, es solución de la ecuacion de la eikonal.

6.  \forall x \in S,  N(x) = \nabla b_{S}(x), es decir para todo punto x en la superficie S la normal en x es el gradiente de bS(x) en x.

Demostración:
 S \subset cl(S) = \left\{x \; / \; b_{S}(x)= 0 \right\}, entonces  N(x)=\frac{\nabla b_{S}(x)}{\|\nabla b_{S}(x)\|}=\frac{\nabla b_{S}(x)}{1}=\nabla b_{S}(x)

7. H(x) = ΔbS(x) La curvatura media en x es igual al Laplaciano en x.

Demostración:
 H(x) =\nabla \frac{\nabla b_{S}(x)}{\|\nabla b_{S}(x)\|}=\nabla \frac{\nabla b_{S}(x)}{1}=\nabla \nabla b_{S}(x)= \nabla^2 b_{S}(x)= \Delta b_{S}(x)


Ejemplos

  • Distancia a un plano

Para un plano  \Pi \equiv A.x + B.y + C.z + D = 0  cuyo vector normal es (A,B,C)

b_{\Pi}(x, y, z)=\frac{A.x + B.y + C.z + D }{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.
  • Distancia a una esfera

Sea S la esfera de centro (a,b,c) y rario r

b_{S}(x, y, z) = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 }- r
  • distancia a un toro

Sea S un toro generado al rotar una circunferencia de radio r cuyo centro está separado a una distancia R del eje z y centrado en el origen.

b_{S}(x, y, z) = \sqrt{(\sqrt{x^2+y^2}-R)^2+z^2}-r


Referencias

  • Michel C. Delfour,J. P. Zolésio. Shapes and geometries: analysis, differential calculus, and optimization. 

Enlaces externos


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