Fórmula del Haversine

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Seno, coseno y verseno de θ en base a la circunferencia goniométrica

La fórmula del semiverseno es una importante ecuación para la navegación astronómica, en cuanto al cálculo distancia de círculo máximo entre dos puntos de un globo sabiendo sus longitud y latitud. Es un caso especial de una fórmula más general de trigonometría esférica, la ley de los semiversenos , que relaciona los lados y los ángulos de "triángulos esféricos".

Estos nombres se derivan del hecho de que suele expresarse en términos de la función haversine, dada por haversin (θ) = sen ² (θ/2). Las fórmulas también podrían estar escritas en términos de cualquier múltiple del haversine, como la antigua función verseno (el doble del haversine).

Históricamente, el haversine tuvo, quizás, una ligera ventaja ya que su máximo es "1", por lo que las tablas logarítmicas de sus valores podían acabar con el valor cero. Hoy en día, la forma del haversine también es interesante, ya que no tiene ningún coeficiente delante de la función seno ² .

Fórmula del haversine

Para cualquier par de puntos sobre una esfera:

$\operatorname{haversin} \left (\frac{d}{R}\right) = \operatorname{haversin}(\varphi_1 - \varphi_2)+\cos (\varphi_1) \cos (\varphi_2) \, \operatorname{haversin}(\Delta \lambda).$

donde

Triángulo esférico resuelto por la ley del haversine.

haversin es la función haversine, haversin ( θ ) = sen ² ( θ /2) = (1-cos ( θ ))/2

d es la distancia entre los dos puntos (a lo largo de un círculo máximo de la esfera, véase distancia esférica),

R es el radio de la esfera,

φ ₁ es la latitud del punto 1,

φ ₂ es la latitud del punto 2, y

Δ λ es la diferencia de longitud

Tenga en cuenta que el argumento a la función haversine Aquí se supone que debe darse en radián s. En grados, haversin ( d / R ) de la fórmula se convertiría en haversin (180 · de /π R ).

Entonces se puede resolver por de ya sea mediante la simple aplicación de la haversine inversa (si está disponible) o mediante el uso de la arcoseno (arcoseno) función:

$d = R \, \operatorname{haversin}^{-1}(h) = 2 R \arcsin \left (\sqrt{h}\, \right).$

donde

• h es haversin ( d / R )

En la época anterior a las calculadoras digitales, el uso de tablas náuticas detalladas para la haversine, haversine/inverso y sus logaritmos (para ayudar en las multiplicaciones) ahorró a los navegantes calcular los cuadrados de los senos, el cálculo de raíces cuadradas, etc., un proceso arduo y que podía agravar los pequeños errores (ver también verseno).

Al utilizar estas fórmulas, se debe tener cuidado para asegurarse de que h no exceda 1 debido a un error de coma flotante ( d es sólo real para h de 0 a 1). h sólo se aproxima a 1 en los puntos antipodales (en los lados opuestos de la esfera) - en esta región, errores numéricos relativamente grandes tienden a surgir en la fórmula cuando se utiliza una precisión finita. Sin embargo, ya que de entonces es bastante grande (se acerca a π · R , la mitad de la circunferencia) un pequeño error a menudo no es una preocupación importante en este caso inusual (aunque hay otras fórmulas distancia de círculo máximo que evitan este problema). (La fórmula anterior se escribe a veces en términos de la función arcotangente, pero esta sufre de problemas numéricos similares a cerca de h = 1.)

Como se describe a continuación, en lugar de haversines, también se puede escribir una fórmula similar, en términos del coseno-a veces llamada la ley esférica del coseno -, (a no confundir con la ley del coseno para la geometría plana), pero por un caso común de distancias/inglés pequeños ... un pequeño error en los datos de entrada de la función "arccos" lleva a un gran error en el resultado final. Esto hace que la fórmula no sea apta para uso general.

Esta fórmula es sólo una aproximación cuando se aplica a la Tierra, porque la Tierra no es una esfera perfecta: el radio de la Tierra R varía de 6.356,78 kilómetros en los polos hasta 6378 , 14 kilómetros en el ecuador. Hay pequeñas correcciones, típicamente del orden de 0,1% (suponiendo la media geométrica R = 6.367,45 kilómetros que se utiliza en todas partes, por ejemplo), a causa de esta ligera forma eel·líptica del planeta. Otro método más preciso, que tenga en cuenta la forma eel·líptica de la Tierra, viene dada por las fórmulas de Vincenty.

Ley del haversine

Dada una esfera unitaria, un "triángulo" en la superficie de la esfera se define por gran círculo s de conectar tres puntos o , v y w en la esfera. Si las longitudes de estas tres partes están al (de uv por v ), b (desde o a w ), yc (a partir de W a ), y el ángulo de la esquina opuesta c es C , entonces la ley del haversine dice:

(la ley del haversine)

$\operatorname{haversin}(c) = \operatorname{haversin}(a - b)+\sin (a) \sin (b) \, \operatorname{haversin}(C).$

Como se trata de una esfera unidad, las longitudes a , b y c son simplemente iguales a inglés (en radianes s) sostenidas por los lados del centro de la esfera (para un no esfera-unidad, cada una de estas longitudes de arco es igual a su [] ángulo [central] multiplicado por el radio de la esfera).

Para obtener la fórmula del haversine de la sección anterior de esta ley, simplemente se considera el caso especial donde o es el polo norte, mientras que w v y son los dos puntos la separación de se va a determinar. En este caso, un y b son π/2 - φ _1,2 (es decir, 90 ° - latitud), C es el Δλ longitud de separación, yc es la deseada de / R . Tomando nota que el sin ( π /2 - φ ) = cos ( φ ), la fórmula haversine sigue inmediatamente.

Para deducir la ley del haversine, se parte de la ley esférica de coseno:

(teorema esférico del coseno)

$\cos (c) = \cos (a) \cos (b)+\sin (a) \sin (b) \cos (C). \,$

Como se ha mencionado anteriormente, esta fórmula no es demasiado buena para la resolución de c cuando c es pequeño. En su lugar, sustituimos la identidad que: cos ( θ ) = 1-2 haversin ( θ ), y también utilizamos la identidad de suma cos ( a - b ) = cos ( a ) cos ( b )+sin ( a ) sin ( b ), para obtener la ley del haversine, de más arriba.

Referencias

• U. S. Census Bureau Sistemas de Información Geográfica Preguntas, ¿Cuál es la mejor manera de calcular la distancia entre dos puntos? (Enlace roto ; contenido ha sido http://www.movable-type.co.uk/scripts/GIS-FAQ-5.1.html [reflejado aquí])
• Sinnott RW, "Virtudes de la Haversine", Cielo y 68 Telescopio (2), 159 (1984).
• http://mathforum.org/library/drmath/view/51879.html [Derivación de la] fórmula haversine, Ask Dr. Math (20 al 21 abril, 1999).

Scibor * Ireneo Romualdo '-Marchocki, [] http://www.geocities.com/ResearchTriangle/2363/trig02.html trigonometría esférica, Primaria-Geometría Trigonometría página web (1997).

• Gellert W., S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner y Küstner H., La Enciclopedia Concisa de las Matemáticas VNR , 2 ª ed., Cap. 12 (otras unidades: New York, 1989).
• Diccionario Inglés de Oxford. Oxford University Press. 2 ª ed. 1989. Citas acuñación del término "Haversine" por el Prof. Jas. Inman, DD, si navegación y astronomía náutica, 3 ª ed. (1835).

Enlaces externos

• La fórmula Haversine realizada en 9 lenguajes
• [1] Aplicación en Javascript de la fórmula del Haversine para encontrar la distancia entre dos puntos conociendo su latitud y longitud
• [2] Aplicación en C++ de la fórmula del Haversine para encontrar la distancia entre dos puntos conociendo su latitud y longitud
• [3] Aplicación en Ruby de la fórmula del Haversine para encontrar la distancia entre dos puntos conociendo su latitud y longitud
• [4] Aplicación en [Python] de la fórmula del Haversine para encontrar la distancia entre dos puntos conociendo su latitud y longitud
• [5] Aplicación en C MacOS de la fórmula del Haversine para encontrar la distancia entre dos puntos conociendo su código postal
• [6] (aplicación de esta fórmula para el cálculo de la distancia entre Lats y Lons)
• [7] Aplicación en [Pascal] de la fórmula del Haversine para encontrar la distancia entre dos puntos conociendo su latitud y longitud