Geometría diferencial de hipersuperficies

En matemáticas, la geometría diferencial de hipersuperficies propone definiciones y métodos para analizar la geometría de hipersuperficies o variedades diferenciales de n dimensiones inmersas en una variedad riemanniana o el espacio euclídeo.

Aquí se tratará de las superficies en $\mathbb{R}^{n+1}$, dotado de una métrica euclídea, es decir $\mathbb{E}^d$.

Ecuación paramétrica de una hipersuperficie

Puesto que una superficie en $\mathbb{R}^{n+1}$ es una variedad diferenciable de dimensión n, en un entorno V de una superficie las coordenadas de cualquier punto de V pueden escribirse en función de dos parámetros:

$\mathbf{x}(u^1,\dots, u^n) = (x^1(u^1,\dots, u^n), \dots, x^{n+1}(u^1,\dots, u^n))\,$

En general una hipersuperficie puede representarse de forma no paramétrica mediante la ecuación:

$f(x^1,\dots,x^n) = 0$

Que si f es suficientemente regular es equivalente localmente a las ecuaciones paramétricas anteriores.

Plano tangente

Dada una superfice $H\,$ de $\mathbb{R}^{n+1}$ y un punto$P_0 = (x^1_0,\dots, x^n_0) \in S \,$ se define como el único hiperplano de $\mathbb{R}^{n+1}$ que contiene al punto $P_0\,$ y (localmente) y la aproxima hasta términos de primer orden. La ecuación analítica de este hiperplano puede expresarse con ayuda de la ecuación paramétrica de la hipersuperificie:

$\Pi_{S,P_0} = \left \{ \mathbf{x}=(x^1, \dots ,x^n)\in \ \Bbb{R}| \mathbf{x}= \mathbf{x}(u^1_0,\dots, u^n_0) + \sum_i \alpha_i \frac{\partial\mathbf{x}(u^1_0,\dots, u^n_0)}{\partial u^i}, \alpha_i \in\mathbb{R} \right \}$

Más sencillamente el hiperplano anterior puede escribirse como el conjunto $(x^1, \dots, x^n)\,$ que satisface la siguiente ecuación:

$\begin{vmatrix} x^1-x^1_0 & \dots & x^n-x^n_0 \\ {x'}^1_1(P_0) & \dots & {x'}^n_1(P_0) \\ \dots & \dots & \dots \\ {x'}^1_n(P_0) & & {x'}^n_n(P_0) \end{vmatrix} = 0$

Aquí, se ha usado la simplificación de notación ${x'}^i_j=\frac{\partial x^i}{\partial u^j}$,... etc

Vector normal a la superficie

Un vector director del hiperplano tangente es un vector normal a la hipersuperficie, usualmente existen dos elecciones posibles para un vector normal unitario (ambas relacioandas por un cambio de signo). Si se expresa la hipersuperificie mediante la superficie $\scriptstyle f(x^1,\dots,x^n) =0$, el vector unitario normal se calcula simplemente como:

$\mathbf{n} = \frac{\nabla f}{\left \Vert \nabla f \right \|} = \frac{(f'_1, \dots, f'_n)}{\sqrt{{f'}_1^2 + \dots + {f'}_n^2}}$

Primera forma fundamental

La primera forma fundamental I es la métrica inducida por la métrica euclídea en la hipersuperficie. Dicha métrica es un tensor 2-covariante, simétrico y definido sobre el espacio tangente a cada punto de la hipersuperficie H. De hecho (H, I) constituye una variedad de Riemann con tensor métrico I. La primera forma fundamental permite estimar longitudes sobre la hipersuperficie y ángulos de intersección entre curvas. Las componentes de la primera forma fundamental suelen designarse por $\scriptstyle g_{ij}$:

$(I_{kl}(u^i)) = (g_{kl}(u^i)) = \begin{pmatrix} g_{11}(u^i) & \dots & g_{1n}(u^i) \\ \dots & \dots & \dots \\ g_{n1}(u^i) & \dots & g_{nn}(u^i) \end{pmatrix}$

La forma cuadrática anterior es positiva, lo que implica que det(g) > 0. La primera forma anterior puede escribirse como una combinación lineal de productos tensoriales de las 1-formas coordenadas $du^i\,$ conforme a:

$I(u^k) = g_{ij}(u^k)\ du^i \otimes du^j$

Estas pueden calcularse explícitamente a partir de la parametrización:

$g_{ij}(u^k) = \frac{\partial \mathbf{x}'}{\partial u^i} \cdot \frac{\partial \mathbf{x}'}{\partial u^j} = \mathbf{x}'_i \cdot \mathbf{x}'_j$

Véase también

• Geometría diferencial de superficies

Bibliografía

• Girbau, J.: "Geometria diferencial i relativitat", Ed. Universitat Autònoma de Catalunya, 1993. ISBN 84-7929-776-X.
• Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.
• M. do Carmo: "Differential geometry of curves and surfaces".
• John M. Lee (1997), Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Graduate Texts in Mathematics, 176, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98271-X 

Enlaces externos

• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Enciclopedia en-línea de Springer-Verlag [1]