Axiomas de Peano


Axiomas de Peano

Axiomas de Peano

Los axiomas de Peano o postulados de Peano son un conjunto de axiomas para los números naturales introducidos por Giuseppe Peano en el siglo XIX. Los axiomas se han utilizado prácticamente sin cambios para una variedad de investigaciones metamatemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistencia y completitud en la teoría de números.

Los axiomas de Peano no se ocupan del significado de "número natural", sino que lo suponen y pretenden encontrar un sistema simple de axiomas que caractericen los números naturales y nos permitan deducir a partir de estos, todas las propiedades de los números naturales, utilizando las reglas de la lógica.

Los cinco axiomas de Peano son los siguientes:

  1. El 1 es un número natural.
  2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
  3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
  4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
  5. Si el 1 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. Este es el axioma de inducción, y captura la idea de inducción matemática.

Hay un debate sobre si considerar al 0 como número natural o no. Generalmente se decide en cada caso, dependiendo de si se lo necesita o no. Cuando se resuelve incluir al 0, entonces deben hacerse algunos ajustes menores:

  1. El 0 es un número natural.
  2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
  3. El 0 no es el sucesor de ningún número natural.
  4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
  5. Si el 0 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. Este es el axioma de inducción, y captura la idea de inducción matemática.

Contenido

Presentación formal

Como se dijo anteriormente, existe un debate sobre si incluir al 0 entre los números naturales o no. A continuación se presentan los axiomas de Peano de manera formal, contemplando ambas posibilidades:

Cuando no se incluye al 0

Los símbolos primitivos son: <N,1,x'> \,

El símbolo N es un predicado monádico que pretende ser leído como "ser un número natural". El símbolo 1, por su parte, es una constante que pretende representar al número uno. Y el símbolo x', finalmente, es una función sobre x que devuelve al sucesor de x. A esta función muchas veces se la escribe "S(x)".

Los cinco axiomas de Peano son:

A_1: N(1) \,
A_2: \forall x (N(x) \to N(x'))
A_3: \neg \exists x (N(x) \and 1=x')
A_4: \forall x \forall y ((N(x) \and N(y) \and x'=y') \to x=y)

Del quinto axioma existen dos variantes. El primero está formulado en lógica de primer orden, y es en realidad un esquema de axioma. El segundo sí es un axioma, pero está formulado en lógica de segundo orden.

A_5: \phi(1) \and \forall x \Big( (\phi (x) \to \phi(x')) \to \forall x \ \phi(x) \Big)
A_5': \forall \phi \bigg( \phi(1) \and \forall x \Big( (\phi (x) \to \phi(x')) \to \forall x \ \phi(x) \Big) \bigg)

Además de los cinco axiomas, la aritmética de Peano recurre a dos definiciones (de la suma y de la multiplicación), que a veces se presentan como axiomas. A continuación se incluyen todas las variantes:

  • Definiciones de suma y multiplicación:
D_1: \, n+1=n' \,
n+m'=(n+m)' \,
D_2: \, n \times 1 = n \,
n \times m' = (n \times m) + n \,
  • Axiomas de la suma y de la multiplicación:
A_6: \, \forall n (n+1=n')
\forall n \forall m (n+m'=(n+m)')
A_7: \, \forall n (n \times 1 = n) \,
\forall n \forall m (n \times m' = (n \times m) + n) \,

Cuando se incluye al 0

Símbolos primitivos: <N,0,x'> \,

Axiomas:

A_1: N(0) \,
A_2: \forall x (N(x) \to N(x'))
A_3: \neg \exists x (N(x) \and 0=x')
A_4: \forall x \forall y ((N(x) \and N(y) \and x'=y') \to x=y)
A_5: \phi(0) \and \forall x \Big( (\phi (x) \to \phi(x')) \to \forall x \ \phi(x) \Big)
A_5': \forall \phi \bigg( \phi(0) \and \forall x \Big( (\phi (x) \to \phi(x')) \to \forall x \ \phi(x) \Big) \bigg)

Cambiar los axiomas para que incluyan al 0 es sólo una cuestión de cambiar toda aparición del 1 por el 0. Sin embargo, en las definiciones (o los axiomas) de suma y de multiplicación hay que hacer algunos leves ajustes más:

  • Definiciones de suma y multiplicación:
D_1: \, n+0=n \,
n+m'=(n+m)' \,
D_2: \, n \times 0 = 0 \,
n \times m' = (n \times m) + n \,
  • Axiomas de la suma y de la multiplicación:
A_6: \, \forall n (n+0=n)
\forall n \forall m (n+m'=(n+m)')
A_7: \, \forall n (n \times 0 = 0) \,
\forall n \forall m (n \times m' = (n \times m) + n) \,

Modelos inintencionales

Un modelo es una interpretación de los símbolos primitivos que hace verdaderos a todos los axiomas. Por ejemplo, interpretando al símbolo 0 como el número cero, y al predicado N como los números naturales, el primer axioma resulta verdadero, porque es verdad que "el cero es un número natural". Lo mismo ocurre con todos los otros axiomas: bajo las interpretaciones naturales de 0, N y x', cada uno de los axiomas resulta verdadero. Luego, las interpretaciones naturales de los símbolos primitivos son un modelo de la aritmética de Peano.

Originalmente, los axiomas de Peano fueron diseñados para caracterizar a los números naturales, y los símbolos primitivos debían ser interpretados de esta manera natural. Sin embargo, dado que el significado de los símbolos primitivos no está especificado (por eso son primitivos), admiten varias interpretaciones, algunas de las cuales serán además modelos. Por ejemplo, podría interpretarse al símbolo 0 como el número dos, a N como el predicado "ser un número par", y a x' como el sucesor del sucesor, en vez del sucesor inmediato. En tal caso, los axiomas tendrían que entenderse así:

  1. El dos es un número par
  2. Si n es un número par, entonces el sucesor del sucesor de n también es un número par
  3. El dos no es el sucesor del sucesor de ningún número par.
  4. Si hay dos números pares n y m con el mismo sucesor de sucesor, entonces n y m son el mismo número par.
  5. Si el dos pertenece a un conjunto, y dado un número par cualquiera, el sucesor del sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números pares pertenecen a ese conjunto.

Bajo esta interpretación, todos los axiomas resultan verdaderos, y los axiomas ya no definen a los números naturales, sino a los números pares. También es posible encontrar modelos (es decir, interpretaciones que hagan verdaderos a todos los axiomas) por fuera de la matemática. Por ejemplo, podría interpretarse a 0 como el primer día de la creación, a N como el predicado "ser un día", y a x' como el día después de x. Bajo esta interpretación, los axiomas también resultan verdaderos.

A aquellos modelos que no fueron originalmente planeados se los llama modelos inintencionales (non intended models), y existen infinitos modelos inintencionales de la aritmética de Peano. Estrictamente hablando, la aritmética de Peano no define a la serie de los números naturales, sino a la noción más amplia de progresión.

Bibliografia

  1. Peano, Giuseppe (marzo de 1979). Velarde Lombraña, Julián (ed.). Los principios de la aritmética: expuestos según un nuevo método., Velarde Lombraña, Julián; tr., 1 edición (en español), Pentalfa Ediciones. ISBN 978-84-85422-02-9.

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