Grado de extensión de un cuerpo

Extensión de un cuerpo como espacio vectorial sobre el cuerpo.

Dada una extensión de cuerpos L:K, podemos pensar en L como en un espacio vectorial sobre el cuerpo K: en efecto, por definición de cuerpo, (L, + ) es grupo abeliano, y podemos considerar el producto por escalares $\cdot: K \times L \longrightarrow L$ como una restricción a $K \times L$ del producto en $\cdot: L \times L \longrightarrow$. De esta forma es inmediato que se cumple que:

• $a \cdot (\alpha + \beta)= (a \cdot \alpha) + (a \cdot \beta)$,

• $(a+b) \cdot \alpha = (a \cdot \alpha) + (b \cdot \alpha)$,

• $(a \cdot (b \cdot \alpha))= (a \cdot b) \cdot \alpha$,

• $1 \cdot \alpha = \alpha$,

cualesquiera que sean $a,b \in K$ y $\alpha,\beta \in L$. Las dos primeras propiedades son debidas a la distributividad del producto respecto de la suma en L y a que $K \subset L$, la tercera se debe a que el producto es asociativo en L, y la cuarta se debe a que K es subcuerpo de L, por lo que el elemento unidad de L es el elemento unidad de K.

Definición del grado de una extensión.

Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de L como espacio vectorial sobre K, denotado por dim_K(L). Se denomina grado de la extensión L:K a la dimensión de L como K-espacio vectorial: [L:K] = dim_K(L).

Teorema de transitividad del grado.

Sea L una extensión de K, y sea E un subcuerpo de L que es a su vez extensión de K. Entonces se cumple que [L:K] = [L:E][E:K].

Demostración:

Sea $\{l_i: i \in I\}$ una base del E-espacio vectorial L (es decir, consideramos L como un espacio vectorial sobre el cuerpo E, y obtenemos una base) y $\{e_j:j \in J\}$ una base del K-espacio vectorial E. Sea $l \in L$ un elemento arbitrario. Existirá una única combinación lineal (que será finita, nosotros consideramos aquí que los coeficientes de la combinación lineal son eventualmente nulos) de tal manera que $l=\sum_{i \in I}\alpha_i \cdot l_i$, siendo cada $\alpha_i \in E$. De la misma forma, existirá una única combinación lineal (cuyos coeficientes serán eventualmente nulos) de tal manera que tenemos que para cada $i \in I$ es $\alpha_i=\sum_{j \in J}\beta_{i,j} \cdot e_j$, siendo cada $\beta_{i,j} \in K$.

$l=\sum_{i \in I}\alpha_i \cdot l_i = \sum_{i \in I}(\sum_{j \in J}\beta_{i,j} \cdot e_j) \cdot l_i= \sum_{i \in I}\sum_{j \in J}\beta_{i,j} (\cdot e_j \cdot l_i)$.

Esto demuestra que $\{e_j \cdot l_i: j \in J, i \in I\}$ es un sistema generador del K-espacio vectorial L.

Supongamos ahora que tenemos una combinación lineal $0=\sum_{i \in I}\sum_{j \in J}\beta_{i,j} (\cdot e_j \cdot l_i)= \sum_{i \in I}(\sum_{j \in J}\beta_{i,j} \cdot e_j) \cdot l_i$. Como $\{l_i: i \in I\}$ es base del E-espacio vectorial L y $\sum_{j \in J}\beta_{i,j} \cdot e_j \in E$ cualquiera que sea el $i \in I$, tenemos que ha de ocurrir que en cada $i \in I$ sea $\sum_{j \in J}\beta_{i,j} \cdot e_j=0$. Ahora bien, como $\{e_j:j \in J\}$ es base del K-espacio vectorial E, entonces ha de ser b_i,j = 0, cualesquiera que sean el $i \in I$ y el $j \in J$. Así pues, $\{e_j \cdot l_i: j \in J, i \in I\}$ es una familia libre del K-espacio vectorial L, con lo cual es una base de L como K-espacio vectorial, y su cardinal es $dim_K(L)=dim_E(L) \cdot dim_K(E)$.

Extensiones algebraicas y trascendentes.

El grado de una extensión resulta muy útil para determinar si una extensión es algrebraica o trascendente.

• Si una extensión L:K es trascendente, existirá al menos un $\alpha \in L \setminus K$ de manera que α sea un elemento trascendente sobre K. Así pues, $K(\alpha) \subset L$, luego $[L:K]=dim_K(L)\geq dim_K(K(\alpha))$. Pero como $K(\alpha) \cong K(x)$ (por ser α trascendente sobre K), y por otro lado $K[x] \subset K(x)$ (con lo que $dim_K(K[x]) \leq dim_K(K(x))$) y $dim_K(K[x])= \infty$, resulta que $[L:K]=dim_K(L)\geq dim_K(K(\alpha))=dim_K(K(x)) \geq dim_K(K[x])) = \infty$.

Concluimos que toda extensión trascendente tiene grado infinito, y que toda extensión de grado finito es algebraica. Ahora bien, puede ocurrir que una extensión de grado infinito sea algebraica.

• Si [L:K] = 1, será entonces L = K. Si tomamos un elemento $\alpha \in L\setminus K$ que sea algebraico sobre K, entronces existirá un polinomio mónico irreducible $p=m_{\alpha}^K$ de manera que $K(\alpha) \cong \frac{K[x]}{(p)}$. Si deg(p) = n, entonces {1 + (p),x + (p),...,x^{n − 1} + (p)} es una base de $\frac{K[x]}{(p)}$, con lo cual $[K(\alpha):K]= dim_K(K(\alpha))= dim_K(\frac{K[x]}{(p)})= n =deg(p)=deg(m_{\alpha}^K)$.