Grupo puntual

La flor Bauhinia blakeana representada en la bandera de Hong Kong tiene simetría C₅; la estrella interior de cada pétalo tiene simetría D₅.

En geometría y cristalografía, un grupo puntual es un grupo de simetrías geométricas (grupo de isometría) que mantiene constante por lo menos un punto fijo. Los grupos puntuales pueden existir en un espacio euclidiano de cualquier otra dimensión, y cada grupo puntual en la dimensión d es un subgrupo del grupo ortogonal O(d). Los grupos puntuales pueden ser considerados como un conjunto de matrices ortogonales M que transforman un punto x en un punto y:

y= M.x

donde el origen es el punto fijo. Los elementos de los grupos puntuales pueden ser: rotaciones (determinante de M= 1) rotaciones impropias, reflexiones, rotaciones-reflexiones, o rotoreflexiones (determinante de M= -1). Todos los grupos puntuales de las rotaciones de dimensión d son subgrupos del grupo ortogonal especial SO(d).

Los grupos puntuales discretos en más de una dimensión se agrupan en familias infinitas, pero por el teorema de restricción cristalográfica y por uno de los teoremas de Bieberbach, cada número de dimensiones sólo tiene un número finito de grupos puntuales que son simétricos respecto de una red o retícula con ese número de dimensiones. Estos son los grupos puntuales cristalográficos.

Una dimensión

Sólo hay dos grupos puntuales unidimensionales, el grupo identidad y el grupo reflexión.

Grupo	Coxeter	Diagrama de Coxeter	Orden	Descripción
C1	[ ]+		1	Identidad
D1	[ ]		2	Grupo reflexión

Dos dimensiones

Los grupos puntuales planos son a veces llamados grupos de roseta.

Se agrupan en dos familias infinitas:

1. Grupos cíclicos C_n o grupos de rotación de orden n
2. Grupos diedral D_n de rotación de orden n y grupos de reflexión.

Aplicando el teorema de restricción cristalográfica n queda limitado a los valores 1, 2, 3, 4 y 6 para ambas familias, produciendo 10 grupos.

Grupo	Intl	Orbifold	Coxeter	Orden	Descripción
Cn	n	nn	[n]+	n	Cíclico: rotaciones de orden n. Extraer el grupo Zn, el grupo de los enteros bajo la adición módulo n.
Dn	nm	*nn	[n]	2n	Diedral: cíclico con reflexiones. Extraer el grupo Dihn, el grupo diedral.

El subconjunto de grupos puntuales de reflexión pura, se define por uno o dos ejes de simetría, también se puede dar por su grupo de Coxeter y polígonos relacionados. Estos incluyen cinco grupos cristalográficos.

Grup0	Coxeter group		Diagrama de Coxeter	Orden	Polígonos relacionados
D3	A2	[3]		6	Triángulo equilátero
D4	BC2	[4]		8	Cuadrado
D5	H2	[5]		10	Pentágono regular
D6	G2	[6]		12	Hexágono regular
Dn	I2(n)	[n]		2n	Polígono regular
D2n	I2(2n)	[[n]]=[2n]		4n	Polígono regular
D2	A12	[2]		4	Rectángulo
D1	A1	[ ]		2	Dígono

Tres dimensiones

Los grupos puntuales tridimensionales son a veces llamados grupos puntuales moleculares por su amplio uso en el estudio de las simetrías de las moléculas pequeñas.

Se agrupan en siete familias infinitas de grupos axiales o prismáticos, y 7 grupos poliédricos adicionales o grupos platónicos. En notación de Schönflies,

• Los grupos axiales: C_n, S_2n, C_nh, C_nv, D_n, D_nd, D_nh
• Grupos poliédricos: T, T_d, T_h, O, O_h, I, I_h

Aplicando el teorema de restricción cristalográfica a estos grupos se obtienen los 32 grupos puntuales cristalográficos.

Intl* Geo [1] Orbifold Schönflies Conway Coxeter Orden 1 1 1 C1 C1 [ ]+ 1 1 22 ×1 Ci = S2 CC2 [2+,2+] 2 2 = m 1 *1 Cs = C1v = C1h ±C1 = CD2 [ ] 2 2 3 4 5 6 n 2 3 4 5 6 n 22 33 44 55 66 nn C2 C3 C4 C5 C6 Cn C2 C3 C4 C5 C6 Cn [2]+ [3]+ [4]+ [5]+ [6]+ [n]+ 2 3 4 5 6 n 2mm 3m 4mm 5m 6mm nmm nm 2 3 4 5 6 n *22 *33 *44 *55 *66 *nn C2v C3v C4v C5v C6v Cnv CD4 CD6 CD8 CD10 CD12 CD2n [2] [3] [4] [5] [6] [n] 4 6 8 10 12 2n 2/m 3/m 4/m 5/m 6/m n/m 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2 2* 3* 4* 5* 6* n* C2h C3h C4h C5h C6h Cnh ±C2 CC6 ±C4 CC10 ±C6 ±Cn / CC2n [2,2+] [2,3+] [2,4+] [2,5+] [2,6+] [2,n+] 4 6 8 10 12 2n 4 3 8 5 12 2n n 4 2 6 2 8 2 10 2 12 2 2n 2 2× 3× 4× 5× 6× n× S4 S6 S8 S10 S12 S2n CC4 ±C3 CC8 ±C5 CC12 CC2n / ±Cn [2+,4+] [2+,6+] [2+,8+] [2+,10+] [2+,12+] [2+,2n+] 4 6 8 10 12 2n

Intl* Geo [1] Orbifold Schönflies Conway Coxeter Orden 222 32 422 52 622 n22 n2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2 222 223 224 225 226 22n D2 D3 D4 D5 D6 Dn D4 D6 D8 D10 D12 D2n [2,2]+ [2,3]+ [2,4]+ [2,5]+ [2,6]+ [2,n]+ 4 6 8 10 12 2n mmm 6m2 4/mmm 10m2 6/mmm n/mmm 2nm2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2 *222 *223 *224 *225 *226 *22n D2h D3h D4h D5h D6h Dnh ±D4 DD12 ±D8 DD20 ±D12 ±D2n / DD4n [2,2] [2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2,n] 8 12 16 20 24 4n 42m 3m 82m 5m 122m 2n2m nm 4 2 6 2 8 2 10 2 12 2 n 2 2*2 2*3 2*4 2*5 2*6 2*n D2d D3d D4d D5d D6d Dnd ±D4 ±D6 DD16 ±D10 DD24 DD4n / ±D2n [2+,4] [2+,6] [2+,8] [2+,10] [2+,12] [2+,2n] 8 12 16 20 24 4n 23 3 3 332 T T [3,3]+ 12 m3 4 3 3*2 Th ±T [3+,4] 24 43m 3 3 *332 Td TO [3,3] 24 432 4 3 432 O O [3,4]+ 24 m3m 4 3 *432 Oh ±O [3,4] 48 532 5 3 532 I I [3,5]+ 60 53m 5 3 *532 Ih ±I [3,5] 120

(*) Cuando el símbolo en la columna Intl aparece duplicado, el primero es para n par, el segundo para n impar.

El subconjunto de grupos puntuales de reflexión pura, definido por 1 a 3 planos de simetría, también se puede dar por su grupo de Coxeter y poliedros relacionados. El grupo [3,3] se puede doblar, notándose como [[3,3]], haciendo coincidir los ejes primero y último uno sobre el otro, duplicando la simetría a orden 48, y resultando isomorfo con el grupo [4,3].

Schönflies	Grupo de Coxeter		Diagrama de Coxeter	Orden	Poliedro regular y prismático relacionado
Td	A3	[3,3]		24	Tetraedro
Oh	BC3	[4,3] =[[3,3]]		48	Cubo, octaedro Octaedro estrellado
Ih	H3	[5,3]		120	Icosaedro, dodecaedro
D3h	A2×A1	[3,2]		12	Prisma triangular
D4h	BC2×A1	[4,2]		16	Prisma cuadrado
D5h	H2×A1	[5,2]		20	Prisma pentagonal
D6h	G2×A1	[6,2]		24	Prisma hexagonal
Dnh	I2(n)×A1	[n,2]		4n	Prisma n-gonal
D2h	A13	[2,2]		8	Cuboide
C3v	A2×A1	[3]		6	Hosoedro
C4v	BC2×A1	[4]		8
C5v	H2×A1	[5]		10
C6v	G2×A1	[6]		12
Cnv	I2(n)×A1	[n]		2n
C2v	A12	[2]		4
Cs	A1	[ ]		2

Véase también

• Grupos puntuales bidimensionales
• Grupos puntuales tridimensionales
• Cristalografía
• Grupo puntual cristalográfico
• Simetría molecular
• Grupo espacial
• Difracción de rayos X
• Red de Bravais

Notas

1. ↑ ^{a b} The Crystallographic Space groups in Geometric algebra, D. Hestenes and J. Holt, Journal of Mathematical Physics. 48, 023514 (2007) (22 pages) PDF [1]

Referencias

• Los grupos puntuales. En: Teoría de grupos aplicada para químicos, físicos e ingenieros. Allen Nussbaum. Editorial Reverté, 1975. ISBN: 842914109X.
• H.S.M. Coxeter: Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
  • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
• H.S.M. Coxeter and W. O. J. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups 4th ed, Springer-Verlag. New York. 1980
• N.W. Johnson: Geometries and Transformations, Manuscript, (2011) Chapter 11: Finite symmetry groups

Enlaces externos

• Tutorial sobre grupos puntuales (necesita Java y Flash)
• Lista de subgrupos (necesita Java)
• The Geometry Center: 2.1 Formulas for Symmetries in Cartesian Coordinates (two dimensions)
• The Geometry Center: 10.1 Formulas for Symmetries in Cartesian Coordinates (three dimensions)