Hipótesis de Lindelöf

En matemática, la hipótesis de Lindelöf es una conjetura formulada por el matemático finés Ernst Leonard Lindelöf (véase Lindelöf (1908)) sobre la tasa de crecimiento de la función zeta de Riemann en la línea crítica y que está implicada por la hipótesis de Riemann.

Ésta postula que, para cualquier ε > 0,

$\zeta\left(\frac12 + it\right) \mbox{ es }\mathcal{O}(t^\varepsilon),$

cuando t tiende a infinito (véase notación de Landau). Puesto que ε puede ser reemplazado por un valor menor, esta conjetura también puede postularse como:

Para cualquier número real positivo ε,

$\zeta\left(\frac12 + it\right) \mbox{ es }o(t^\varepsilon).$

La función μ

Si σ es real, entonces μ(σ) se define como el ínfimo de todos los números reales a tales que ζ(σ + iT) = O(T ^a). Es trivial el observar que μ(σ) = 0 para σ > 1, y la ecuación funcional de la función zeta implica que μ(1 − σ) = μ(σ) − σ + 1/2. El teorema de Phragmen–Lindelöf implica también que μ es convexa. La hipótesis de Lindelöf asegura que μ(1/2) = 0, lo que junto con las propiedades citadas antes de μ implican que μ(σ) es 0 para σ ≥ 1/2 y 1/2 − σ para σ ≤ 1/2.

El resultado de convexidad de Lindelöf junto con μ(1) = 0 y μ(0) = 1/2 implican que 0 ≤ μ(1/2) ≤ 1/4. El límite superior de 1/4 fue rebajado por Hardy y Littlewood a 1/6 mediante la aplicación del método de Weyl de estimación de sumas exponenciales para la ecuación funcional aproximada de la función zeta. Desde entonces, este límite ha sido rebajado significativamente a una cantidad menor que 1/6 por varios autores, usando largas y complejas demostraciones, como indica la siguiente tabla:

μ(1/2) ≤	μ(1/2) ≤	Autor
1/4	0.25	Lindelöf (1908)	Límite de convexidad
1/6	0.1667	Hardy y Littlewood (?)
163/988	0.1650	Walfisz (1924)
27/164	0.1647	Titchmarsh (1932)
229/1392	0.164512	Phillips (1933)
	0.164511	Rankin (1955)
19/116	0.1638	Titchmarsh (1942)
15/92	.1631	Min (1949)
6/37	.16217	Haeneke (1962)
173/1067	0.16214	Kolesnik (1973)
35/216	0.16204	Kolesnik (1982)
139/858	0.16201	Kolesnik (1985)
32/205	0.1561	Huxley (2002),2005

Relación con la hipótesis de Riemann

Backlund (1918-1919) mostró que la hipótesis de Lindelöf es equivalente al siguiente enunciado sobre los ceros de la función zeta:

Para cada ε > 0, el número de ceros con parte real al menos 1/2 + ε y la parte imaginaria T y T + 1 es o(log(T)) cuando T tiende a infinito. La hipótesis de Riemann implica que no hay ningún cero en esa región, así pues implica a la hipótesis de Lindelöf. Se sabe que el número de ceros con parte imaginaria T y T + 1 es O(log(T)), así que la hipótesis de Lindelöf parece sólo un poco más fuerte que lo que ya ha sido demostrado, pero a pesar de ello, sigue resistiendo a todos los intentos de demostración, siendo éstos ya muy complicados.

Media de las potencias de la función zeta

La hipótesis de Lindelöf es equivalente a la afirmación de que

$\int_0^T|\zeta(1/2+it)|^{2k}\,dt = O(T^{1+\varepsilon})$

para todos los enteros positivos k y para todos los números reales positivos ε. Esta afirmación ha sido demostrada para k = 1 o 2, pero el caso k = 3 parece ser más complejo y todavía se encuentra como un problema abierto.

Hay una más precisa conjetura acerca del comportamiento asintótico de esta integral: Se cree que

$\int_0^T|\zeta(1/2+it)|^{2k} \, dt = T\sum_{j=0}^{k^2}c_{k,j}\log(T)^{k^2-j} + o(T)$

para algunas constantes c_k,j. Ésto fue demostrado por John Edensor Littlewood para k = 1 y por Heath-Brown (1979) para k = 2 (extendiendo un resultado de Ingham (1926) el cual encontró el término principal).

Conrey y Ghosh (1998) sugirió el valor $(42/9!)\prod_ p \left((1-p^{-1})^4(1+4p^{-1}+p^{-2})\right)$ para el coeficiente principal cuando k es 6, y Keating y Snaith (2000) usaron teoría de matrices aleatorias para sugerir algunas conjeturas sobre los valores de los coeficientes para valores de k mayores. Los coeficientes principales ha sido conjeturados para ser el producto de un factor elemental, un cierto producto sobre números primos, y el número de n por n en tabla de Young dado por la siguiente secuencia:

• 1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, (sucesión A039622 en OEIS).

Otras consecuencias

Denotando como p_n el n-ésimo número primo, un resultado dado por Albert Ingham, muestra que la hipótesis de Lindelöf implica que, para cualquier ε > 0,

$p_{n+1}-p_n\ll p_n^{1/2+\varepsilon}\,$

si n es lo suficientemente grande. Sin embargo, este resultado es mucho peor que la amplia conjetura del espacio entre primos consecutivos.

Referencias

• Backlund, R. (1918–1919), «Über die Beziehung zwischen Anwachsen und Nullstellen der Zeta-Funktion», Ofversigt Finska Vetensk. Soc. 61 (9) 
• Conrey, J. B.; Farmer, D. W.; Keating, Jonathan P.; Rubinstein, M. O.; Snaith, N. C. (2005), «Integral moments of L-functions», Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series 91 (1): 33–104, doi:10.1112/S0024611504015175, MR2149530, ISSN 0024-6115 
• Conrey, J. B.; Farmer, D. W.; Keating, Jonathan P.; Rubinstein, M. O.; Snaith, N. C. (2008), «Lower order terms in the full moment conjecture for the Riemann zeta function», Journal of Number Theory 128 (6): 1516–1554, doi:10.1016/j.jnt.2007.05.013, MR2419176, ISSN 0022-314X 
• Conrey, J. B.; Ghosh, A. (1998), «A conjecture for the sixth power moment of the Riemann zeta-function», International Mathematics Research Notices 1998 (15): 775–780, doi:10.1155/S1073792898000476, MR1639551, ISSN 1073-7928 
• Edwards, H. M. (1974), Riemann's Zeta Function, New York: Dover Publications, MR0466039, ISBN 978-0-486-41740-0 
• Heath-Brown, D. R. (1979), «The fourth power moment of the Riemann zeta function», Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series 38 (3): 385–422, doi:10.1112/plms/s3-38.3.385, MR532980, ISSN 0024-6115 
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• Huxley, M. N. (2005), «Exponential sums and the Riemann zeta function. V», Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series 90 (1): 1–41, doi:10.1112/S0024611504014959, MR2107036, ISSN 0024-6115 
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• «Lindelöf hypothesis» (en inglés). Encyclopaedia of Mathematics. Springer. Consultado el 13 de noviembre de 2010.