Estado mixto

En mecánica cuántica se llama estado mixto, por contraposición a un estado puro, aquel estado cuántico que no está máximamente intrincado. En otras palabras; si midiéramos más refinadamente los sistemas individuales que forman la colectividad estadística que en principio pensábamos constaba de elementos idénticos (con todos sus atributos físicos idénticos dentro de las limitaciones que impone el principio de incertidumbre), veríamos que hay características más finas que los diferencian. La explicación intuitiva de esto es que se están mezclando (deliberadamente o no) colectividades estadísticas que podrían considerarse como estados puros (máximamente intrincados) diferentes.

Una analogía clásica sería que se nos presentara una estadística de, por ejemplo, las estaturas de los europeos. Todas las propiedades de esta estadística están contenidas en la distribución de probabilidad p(h), donde h es la estatura. Alguien podría facilitarnos información adicional especificando unas distribuciones de probabilidad más detalladas p(N,h), donde N es la nacionalidad. Pues bien, la distribución de probabilidad p(h) sería una mezcla de las distintas p(N,h) en el mismo sentido que pretendemos precisar aquí.

Motivación y antecedentes históricos

El concepto de estado mezcla fue introducido en 1927 independientemente por el físico soviético Lev Davidovich Landau y Felix Bloch y matemáticamente formulado en términos del operador densidad por John Von Neumann. En el caso de Landau, se trataba de dar un enfoque a la mecánica cuántica más acorde con las exigencias de la física estadística, en particular con vistas a considerar el comportamiento cuántico de sistemas complejos (formados por grandes números de partículas en interacción mutua), como gases o cristales. En el caso de Von Neumann, la motivación era la de dotar de mayor rigor a la estructura lógica y matemática de la mecánica cuántica; más en particular, y en lo que atañe a los estados mezcla, la formulación de unos requisitos mínimos que definan el estado cuántico.

Formulación matemática

El operador densidad

En mecánica cuántica se llama operador densidad al objeto matemático que es un operador lineal que codifica todas las propiedades estadísticas de un sistema cuántico en la situación más general concebible, en particular, cuando la descripción con un estado cuántico puro no resulta posible. Para una base de funciones de onda concreta, se llama matriz densidad a la matriz que representa al operador densidad del sistema.

El operador se puede expresar como un operador en el espacio de Hilbert de los estados:

$\rho = \sum_j p_j \left|\psi_j\right\rangle\left\langle\psi_j\right|$

$0\leq p_j\leq1; \sum_j p_j =1$:

donde $\scriptstyle{p_j}\,$ es el peso de la función $\scriptstyle{\Psi_j}\,$ en el estado del sistema. Una función de onda pura $\scriptstyle{|\Psi_j>}\,$ tendrá el operador densidad $\scriptstyle{|\Psi_j><\Psi_j|}\,$, que se puede ver como un operador de proyección. Serán estados mezcla estrictos aquellos para los que se cumpla

ρ² < ρ

y estados puros aquellos para los que:

ρ² = ρ

En el caso de sistemas complejos, por ejemplo muchas moléculas idénticas en distintos estados, el valor esperado de cada propiedad física observable A es la media de los valores propios, ponderada por $p_i\,$, se suele expresar como la traza del observable por el operador:

$\left\langle A \right\rangle=\mbox{tr}(A \rho)=\sum_i A_{kk}$

donde, en una base ortonormal del espacio de las funciones de ondas,

$A_{kl}=<\Phi_k|\hat{A}|\Phi_l>$

Referencia

• Juan Carlos Paniagua Valle, Operadores densidad, operadores producto, consultado el 29 de julio de 2010