Negación lógica

Para otros usos de este término, véase negación.

En lógica y matemática, la negación, también llamada complemento lógico, es una operación sobre proposiciones, valores de verdad, o en general, valores semánticos. Intuitivamente, la negación de una proposición es verdadera cuando dicha proposición es falsa, y viceversa. En lógica clásica la negación está normalmente identificada con la función de verdad que cambia su valor de verdadero a falsity y viceversa. En Lógica intuicionista, de acuerdo a la interpretación BHK, la negación de una proposiciónp es la proposición cuyas pruebas con las refutaciones de p. En la semántica de Kripke, donde los valores semánticos de las fórmulas son conjuntos de posibles mundos, la negación de p, es su complemento.

Definición

La negación clásica es una operación sobre un valor de verdad, típicamente, el valor de una proposición, que produce un valor de verdadero cuando su operando es falso, y un valor de falso cuando su operando es verdadero. Por tanto, si el enunciado A es verdadero, entonces ¬A (pronunciado "no A") sería consecuentemente falso; y lo contrario, si ¬A es verdadero, entonces A sería falso.

La tabla de verdad de ¬p es la siguiente:

Tabla de verdad de ¬p

p	¬p
Verdadero	Falso
Falso	Verdadero

La genación clásica se puede definir en términos de otras operaciones lógicas. Por ejemplo, ¬p se puede definir como p → F, donde "→" es una implicación lógica y F es una falsedad absoluta. Por el contrario, se puede definir F como p & ¬p para cualquier proposición p, donde "&" es una conjunción lógica. La idea aquí es que cualquier contradicción es falsa. Mientras estas ideas funcionan tanto en la lógica clásica como en la instuicionista, no funcionan en la [lógica paraconsistente]], donde las contradicciones no son necesariamente falsas.

En lógica clásica tenemos una identidad adicional: p → q se puede definir como ¬p ∨ q, donde "∨" es la disyunción lógica: "no p, o q".

Algebraicamente, la negación clásica corresponde con el complemento en un álgebra booleana, y la negación intuicionista al seudocomplemento en un álgebra de Heyting. Estas álgebras proveen una semántica para las lógicas clásica e intuicionista respectivamente.

Notación

La negación de una proposición p se denota dediferentes maneras en varios contextos de discisión y campos de aplicación. Entre estas variantes, tenemos las siguientes:

Notación	Vocalización
$\lnot p$	no p
$- p\,$	no p
$\sim p\,$	no p
$Np\,$	ene p
$p'\!$	p prima , complemento de p
$\bar{p}$	p barra, barra p
$!p\!$	exclamación p

Independientemente de la notación o símbolo utilizados, la negación ¬p / ~p se puede leer como "no es el caso que p", "no es cierto que p", o por lo común, simplemente (aunque no gramaticalmente) como "no p".

Propiedades

Doble negación

Dentro de un sistema de lógica clásica, la doble negación, esto es, la negación de la negación de una proposición p, es lógicamente equivalente a p. Expresado simbólicamente, ¬(¬p) ⇔ p. En lógica intuicionista, una proposición implica su doble negación, pero no al revés. Esto marca una importante diferencias entre las genaciones clásica e intuicionista. Algebraicamente, la negación clásica es llamada una involución de periodo dos.

Sim embargo, en lógica intuicionista, sí tenemos la equivalencia entre ¬¬¬p y ¬p. Es más, en el caso proposicional, una oración es demostrable de forma clásica, si su doble negación es demostrable de manera intuicionista. Este resultado es conocido como el teorema de Glivenko.

Distributiva

~$(a \equiv b) \equiv ($~$a \equiv b)$

Linealidad

En el álgebra de Boole, una función lineal es una función tal que:

Si existe a₀, a₁, ..., a_n $\in$ {0,1} tal que f(b₁, ..., b_n) = a₀ ⊕ (a₁ $\land$ b₁) ⊕ ... ⊕ (a_n $\land$ b_n), para todo b₁, ..., b_n $\in$ {0,1}.

Otra forma de expresar esto es que cada variable siempre cambia su valor de verdad de la operación o nunca cambia. La negación es un operador lógico lineal.

Autodualidad

En el álgebra de Boole, una función autodual es una función tal que:

Si f(a₁, ..., a_n) = ~f(~a₁, ..., ~a_n) para todo a₁, ..., a_n $\in$ {0,1}. La negación es un operador lógico de autodualidad.

Reglas de inferencia

Hay varias formas equivalentes entre sí, de formular reglas para la negación. Una forma usual de formular la negación clásica, al establecer una deducción natural, es tomar como reglas primitivas de inferencia:

• Introducción de la negación (Si p implica a q y ¬q, inferimos ¬p; esta regla también se llama reductio ad absurdum),
• Eliminación de la negación (Dado p y ¬p inferimos q; esta regla también se llama ex falso quodlibet),
• Eliminación de la doble negación (Dado ¬¬p inferimos p).

Las reglas para negación intuicionista se obtienen de la misma forma, pero excluyendo la eliminación de la doble negación.

La introducción de la negación establece que si se puede obtener un absurdo como conclusión de p, entonces p no debe ser el caso (p es falso (clásico), o refutable (intuicionista), etc.). La eliminación de la negación establece que cualquier cosa se desprende de un absurdo. A veces, la negación de la elimincación es formulada usando el signo primitivo de absurdo ⊥. En este caso, la regla dice que dado p y ¬p concluimos en un absurdity. Junto a la eliminación de la doble negación, se puede inferir la regla originalmente formulada, a saber, que cualquier cosa que se desprende de un absurdo.

Típicamente, la negación intuicionista ¬p de p se define como p→⊥. Entonces la introducción de la negación y la eliminación son sólo casos especiales de introducción de la implicación (prueba condicional) y eliminación (modus ponens). En este caso, podemos también agregar como regla primitiva ex falso quodlibet.

Programación

Así como en matemática, la negación es ampliamente usada en computación para construir expresiones lógicas.

    if (!(r == t))
    {
         /*...sentencias ejecutadas cuando r NO ES IGUAL a t...*/
    }

El signo "!" significa NO lógico en B, C, y otros lenguajes inspirados en la sitaxis de C como C++, Java, Perl, PHP, etc. "NOT" es el operador usado en ALGOL 60, BASIC, COBOL, y lenguanes inspirados en la sintaxis de ALGOL como Pascal, Ada, Seed7, etc. Algunos lenguajes (C++, Perl, etc.) proveen más de un operador para la negación. Algunos lenguajes como PL/I y Ratfor, usan ¬ para la negación. Algunas computadoras y sistemas operativos modernos muestran ¬ como ! en archivos condificados en ASCII.

Existe también la negación a nivel de bits. Ésta toma el valor dado, y cambia todo el binario; los 1 cambian a 0 y los 0 a 1. Esta operación es usada normalmente para generar el complemento a uno o "~" en C o C++ y el complemento a dos (sólo simplificado a "-" o el signo negativo ya que esto es equivalente a tomar el valor aritmético negativo del número) ya que básicamente genera el opuesto (valor negativo equivalente) o complemento matemático del valor (donde ambos valores se agregan juntos para crear un todo).

Para obtener el valor absoluto (equivalente positivo) de un entero dado, el siguiente código trabajaría cambiando el signo de negativo a positivo (es negativo porque "x < 0" resulta verdadero)

    unsigned int abs(int x)
    {
        if (x < 0)
            return -x;
        else
            return x;
    }

Para demostrar la negación lógica:

    unsigned int abs(int x)
    {
        if (!(x < 0))
            return x;
        else
            return -x;
    }

Invirtiendo la condición y revirtiendo las salidas, se genera código que es lógicamente equivalente al código original, es decir, que obtendremos idénticos resultados para cualquier entrada. (Nota: Dependiendo del compilador utilizado, las instrucciones reales ejecutadas por la computadora pueden diferir).

Véase también

• Conjunción lógica
• Disyunción lógica
• Puerta lógica NO
• Bitwise NOT
• Paralipsis
• Negación cíclica
• Polaridad gramatical
• Negación (gramática)
• NAF

Referencias

• Gabbay, Dov, and Wansing, Heinrich, eds., 1999. What is Negation? Kluwer. (en inglés)
• Horn, L., 2001. A Natural History of Negation. Univ. of Chicago Press. (en inglés)
• G. H. von Wright, 1953–59, "On the Logic of Negation", Commentationes Physico-Mathematicae 22. (en inglés)
• Wansing, Heinrich, 2001, "Negation," in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Blackwell. (en inglés)
• Marco Tettamanti, Rosa Manenti - Pasquale A. Della Rosa - Andrea Falini - Daniela Perani - Stefano F. Cappa and Andrea Moro (2008) "Negation in the brain. Modulating action representation." NeuroImage Volume 43, Issue 2, 1 November 2008, Pages 358-367. http://dx.doi.org/10.1016/j.neuroimage.2008.08.004 (en inglés)

Enlaces externos

• NOT en MathWorld (en inglés)