Número entero algebraico

No debe confundirse con elemento algebraico.

En teoría de números, un número entero algebraico es un número complejo que es la raíz de algún polinomio mónico (siendo el coeficiente principal 1) con coeficientes en ℤ. El conjunto de todos los enteros algebraicos es cerrado bajo la adición y multiplicación y también es un subanillo de números complejos denotado mediante A. El anillo A es la clausura integral de los enteros regulares ℤ en los número complejos.

El anillo de los números enteros de un cuerpo numérico K, denotado mediante O_K , es la intersección de K y A: éste también puede ser caracterizado como el máximo orden del cuerpo K.

Cada entero algebraico pertenece al anillo de enteros de algún cuerpo numérico. Un número x es un entero algebraico si y sólo si el anillo ℤ[x] es finitamente generado como un grupo abeliano, es decir, como módulo-ℤ.

Definiciones

Las siguiente definiciones de un número entero algebraico son equivalentes; Sea K un cuerpo numérico (por ejemplo, una extensión finita de $\mathbb Q$), en otras palabras, $K = \mathbb{Q}(\theta)$ para algún $\theta \in \mathbb{C}$ por el teorema del elemento primitivo.

• $\alpha \in K$ es un entero algebraico si existe un polinomio mónico $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ tal que f(α) = 0.
• $\alpha \in K$ es un entero algebraico si el polinomio mónico mínimo de α over $\mathbb Q$ pertenece a $\mathbb{Z}[x]$.
• $\alpha \in K$ es un entero algebraico si $\mathbb{Z}[\alpha]$ es un módulo-$\mathbb Z$ finitamente generado.
• $\alpha \in K$ es un entero algebraico si existe un submódulo-$\mathbb{Z}$ $M \subset \mathbb{C}$ finitamente generado tal que $\alpha M \subseteq M$.

Los números enteros algebraicos osn un caso especial de elementos integrales de una extensión de anillo. En particular, un entero algebraico es un elemento integral de una extensión finita $K / \mathbb{Q}$.

Véase también

• Número algebraico
• Entero gaussiano
• Entero de Eisenstein
• Raíz de la unidad
• Teorema de las unidades de Dirichlet
• Unidad fundamental (teoría de números)

Referencias

• Daniel A. Marcus, Number Fields, third edition, Springer-Verlag, 1977