Disyunción exclusiva

Diagrama de Venn para $~A \oplus B$

Diagrama de Venn para $~A \oplus B \oplus C$

El operador lógico Disyunción exclusiva también llamado o exclusivo, simbolizado como XOR, EOR, EXOR, ⊻ o ⊕ es un tipo de disyunción lógica de dos operandos que es verdad si solo un operando es verdad pero no ambos.

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Equivalencias, simplificación, e introducción

La disyunción exclusiva $p \oplus q$ puede ser expresada en términos de conjunción lógica ($\wedge$), disyunción lógica ($\lor$), y negación ($\lnot$) de la siguiente manera:

$\begin{matrix} p \oplus q & = & (p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q) \end{matrix}$

La disyunción exclusiva $p \oplus q$ puede ser expresada de la siguiente manera:

$\begin{matrix} p \oplus q & = & \lnot (p \land q) \land (p \lor q) \end{matrix}$

Esta representación del XOR puede resultar útil en la construcción de un circuito o una red, ya que sólo tiene un operador $\lnot$ y un número reducido de operadores $\wedge$ y $\lor$. La prueba de esta identidad es la siguiente:

$\begin{matrix} p \oplus q & = & (p \land \lnot q) & \lor & (\lnot p \land q) \\ & = & ((p \land \lnot q) \lor \lnot p) & \and & ((p \land \lnot q) \lor q) \\ & = & ((p \lor \lnot p) \land (\lnot q \lor \lnot p)) & \land & ((p \lor q) \land (\lnot q \lor q)) \\ & = & (\lnot p \lor \lnot q) & \land & (p \lor q) \\ & = & \lnot (p \land q) & \land & (p \lor q) \end{matrix}$

A veces es útil escribir $p \oplus q$ de las siguientes formas:

$\begin{matrix} p \oplus q & = & \lnot ((p \land q) \lor (\lnot p \land \lnot q)) \end{matrix}$

Esta equivalencia se puede establecer mediante la aplicación de las Leyes de De Morgan dos veces para la cuarta línea de la prueba anterior.

Véase también

• Puerta lógica
• Álgebra de Boole
• Función booleana
• Modus tollendo ponens
• Lógica de primer orden
• Disyunción lógica
• Involución (matemática)
• Valor de verdad
• Operación matemática
• Bit de paridad
• Lógica proposicional
• Cifrado XOR