Aplicación lineal

Aplicación lineal

En matemática una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El término función lineal se usa también en análisis matemático y en geometría para designar una recta, un plano, o en general una variedad lineal.

En álgebra abstracta una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría de categorías un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado.

Contenido

Definición

Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:
  1. T(u+v) = T(u) + T(v) \,
  2. T(ku) = kT(u) \, donde k es un escalar.

Ejemplos

Transformación lineal identidad

T:V \rarr V \quad/\quad T(x) = x, \forall x \in V

Homotecias

T:\mathbb{K}^n \rarr \mathbb{K}^n \quad/\quad T(x) = kx con k \in \mathbb{K}
Si k > 1 se denominan dilataciones
Si k < 1 se denominan contracciones
Ver artículo sobre Homotecias

Propiedades de las transformaciones lineales

Sean \mathbb{V} y \mathbb{W} espacios vectoriales sobre \mathbb{K} (donde \mathbb{K} representa el cuerpo) se satisface que:

Si T: V \rarr W es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

\operatorname{ker}(T)=\{\,x\in V:T(x)=0_W\,\}

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:

  1. 0_V \in \operatorname{ker}(T) dado que \operatorname {T}(0_V) = 0_W
  2. Dados u , v \in \operatorname{ker}(T) : T(u+v) = T(u) + T(v) = 0_W + 0_W = 0_W \Rightarrow u + v \in \operatorname{ker}(T)
  3. Dados u \in \operatorname{ker}(T) \and k \in \real : T(ku) = k T(u) \and T(ku) = k 0_W = 0_W \Rightarrow ku \in \operatorname{ker}(T)

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. \operatorname{null}(T) = \operatorname{dim}(\operatorname{ker}(T))

O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.

  • La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
  • El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.
\operatorname{ran}(T) = \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(T))


una función lineal es la correspondencia

Teorema fundamental de las transformaciones lineales

  • Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn} un conjunto de n vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal T: V → W que satisface:


 T(v_i) = w_i,  \forall 1\le i\le n

Clasificación de las transformaciones lineales

  1. Monomorfismo: Si T: V \rarr W es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo. \operatorname{ker}(T) = {0_V}
  2. Epimorfismo: Si T: V \rarr W es sobreyectiva (suryectiva).
  3. Isomorfismo: Si T: V \rarr W es biyectiva (inyectiva y suryectiva)

Matriz asociada a una transformación lineal

Según la teoría de Brevis-Devaud, una matriz asociada es la matriz formada por las coordenadas de los elementos de una base.

Dada T: V → W, con B = {v1, v2, v3, ..., vn} y C = {w1, w2, w3, ..., wp} bases de V y W respectivamente, llamamos coordenadas de v1 en base C, al vector formado por los coeficientes de los elementos de C que usamos para llegar al transformado de v1.

T(v1) = a1.w1 + a2.w2 + ... + ap.wp

Entonces:

coordC(v1) = (a1, a2,..., ap)

Y la matriz asociada a T, en las bases B y C, es la matriz res/sub>(v2), ..., coordC(vn))

Referencias

Véase también

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Mira otros diccionarios:

  • Aplicación lineal — Definición Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones: Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K… …   Enciclopedia Universal

  • Descomposición de una aplicación lineal — Saltar a navegación, búsqueda Contenido 1 Isomorfismo canónico 1.1 Definición y teorema 1.2 Prueba …   Wikipedia Español

  • Descomposición de una aplicación lineal — Isomorfismo canónico Definición y teorema Sean E y F dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo, o más generalmente, dos módulos sobre un mismo anillo. Sea f una aplicación lineal, N = Ker f su núcleo e I = Im f su imagen …   Enciclopedia Universal

  • lineal — ► adjetivo 1 De la línea: ■ los trazos lineales representan las calles; tiene una asignatura de dibujo lineal. 2 BOTÁNICA, ZOOLOGÍA Que tiene forma larga y estrecha: ■ los pinos tienen hojas lineales. 3 Que es proporcional: ■ se ha producido un… …   Enciclopedia Universal

  • Aplicación — ► sustantivo femenino 1 Acción y resultado de aplicar o aplicarse. 2 Dedicación y asiduidad con que se hace alguna cosa: ■ hacía los deberes con aplicación y constancia. SINÓNIMO entrega ANTÓNIMO desinterés 3 ARTE, ARTES DECORATIVAS Detalle de… …   Enciclopedia Universal

  • Aplicación de 32 bits — Saltar a navegación, búsqueda Una aplicación de 32 bits es un software que se ejecuta en un espacio de direcciones de 32 bits plano (un modelo de memoria plana). El término aplicación de 32 bits procede de que en DOS y Microsoft Windows estaban… …   Wikipedia Español

  • Aplicación de Poincaré — En la sección de Poincaré S, la aplicación de Poincaré P lleva el punto x de en el punto P(x). En matemáticas, y en particular en el campo de sistemas dinámicos, una aplicación de Poincaré o aplicación de primer retorno es una aplicación definida …   Wikipedia Español

  • Invariante algebraico (álgebra lineal) — Un invariante algebraico es una función polinómica de las componentes de la matriz de una aplicación lineal, no depende de la base vectorial escogida para representar la aplicación lineal en forma de matriz. En otras palabras, un invariante… …   Wikipedia Español

  • Función lineal — Se ha sugerido que Transformación lineal de intervalos sea fusionado en este artículo o sección (discusión). Una vez que hayas realizado la fusión de artículos, pide la fusión de historiales aquí. Para la función entre dos espacios vectoriales… …   Wikipedia Español

  • Grupo lineal general — En matemáticas, el grupo lineal general (GL) de un espacio vectorial , denotdo como , es el grupo formado por todos los isomorfismos de ese espacio. Cuando el espacio vectorial es siendo un cuerpo F (tal como o …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”