Segmento circular

En geometría, un segmento circular (o segmento de un círculo) es la porción de un círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

Fórmulas

Un segmento circular (en verde) está comprendido entre una secante o cuerda (la línea discontinua) y el arco cuyos puntos extremos son los de la cuerda.

Sea R el radio del círculo, θ el ángulo central, c la longitud de la cuerda, s la longitud del arco, h la altura del segmento circular, y d la altura de la porción triangular.

• El radio es $R = h + d \frac{}{}$

• La longitud del arco es $s = R \cdot \theta$, donde $\theta \,$ está en radianes.

• La longitud de la cuerda es $c = 2R\sin\frac{\theta}{2} = R\sqrt{2-2\cos\theta}$

• La altura es $h = R(1-\cos\frac{\theta}{2})$

• El ángulo es $\theta = 2\arccos\frac{d}{R}$

Área

El área del segmento circular es igual al área del sector circular menos el área de la porción triangular.

$A = \pi R^2 \cdot \frac {\theta}{2 \pi} - \frac {R^2 \sin \theta}{2} = \frac{R^2}{2} \left(\theta - \sin\theta \right)$

Demostración alternativa

El área del sector circular es: $A = \pi R^2 \cdot \frac{\theta}{2\pi} = \frac {R^2 \cdot \theta}{2}$

Si se bisecciona el ángulo θ, y por tanto la porción triangular, se obtienen dos triángulos con área total:

$R\sin \frac{\theta}{2} \cdot R\cos \frac{\theta}{2} = R^2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$

Dado que el área del segmento es el área del sector menos el área de la porción triangular, se obtienen

$A = R^2\left(\frac{\theta}{2}-\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\right)$

De acuerdo con la identidad trigonométrica de ángulo doble $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta \,$, por lo tanto:

$\sin\frac{\theta}{2} \cos\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \sin\theta$

con lo que resulta que el área es:

$A = R^2 \left(\frac{\theta}{2} - \frac{1}{2} \sin\theta \right) = \frac{R^2}{2} \left(\theta - \sin\theta \right)$

Véase también

• Sector circular
• Casquete esférico – análogo tridimensional
• Arco
• Sección cónica
• Sección (matemática)

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Segmento circular» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Definición de un segmento circular con animación interactiva (en inglés)
• Fórmula para el área de un segmento circular con animación interactiva (en inglés)