Señal analítica

La señal analítica de Gabor correspondiente a una señal temporal real, es una señal compleja cuyo espectro de frecuencias es nulo para frecuencias negativas, y cuya parte real es igual a la señal original.

Definición

La señal analítica x_a(t) se construye a partir de una señal real.^[1]

Sea x(t) una señal real cuya transformada de Fourier es X(ω). Construyamos ahora la siguiente función:

$X_a(\omega) = \left \{ \begin{array}{rl} 2X(\omega) & \textrm{si} \; \omega > 0\\ X(\omega) & \textrm{si} \; \omega = 0\\ 0 & \textrm{si} \; \omega <0 \end{array} \right.$

La señal analítica correspondiente a x(t) es la transformada de Fourier inversa de X_a(ω):

$x_a(t) = \mathcal{F}^{-1}\{X_a(\omega)\}$

Construcción alternativa

La señal analítica se puede construir también a partir de la transformada de Hilbert de x(t).

Sea $x_h(t) = \mathcal{H}\{x(t)\}$ la transformada de Hilbert de x(t). Ahora podemos construir la señal analítica de la siguiente manera:

$x_a(t) = x(t) + i x_h(t) \,\!$

donde «i» es la unidad imaginaria.

Propiedades

La primera propiedad evidente de la señal analítica x_a(t) es que su parte real es igual a la señal correpondiente:

$\operatorname{Re}\{x_a(t)\} = x(t)$

Aplicación

La señal analítica de Gabor permite separar una señal temporal en sus componentes de amplitud y fase instantáneas. Es decir, para cada tiempo t, podremos calcular una función A(t) y una función ϕ(t) tales que

x(t) = A(t)cos(ϕ(t))

Para esto basta calcular

$A(t) = \sqrt{\operatorname{Re}\{x_a(t)\}^2 + \operatorname{Im}\{x_a(t)\}^2}$

y

ϕ(t) = arg(x_a(t))

donde arg es el argumento de un número complejo.

Referencias

1. ↑ Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer (2000). Tratamiento de señales en tiempo discreto, 2ª Ed.. Madrid : Prentice Hall Iberia. pp. 873. ISBN 8420529877.